Discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**2.2. Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema $\begin{cases} x + y + mz = 1, \\ x + my + z = 1, \\ mx + y + z = 1. \end{cases}$** Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero, escribimos el sistema en forma matricial definiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 1 & m & 1 & 1 \\ m & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius establece que: - Si $rg(A) = rg(A^*) = n$ (nº incógnitas), el sistema es **SCD** (Solución única). - Si $rg(A) = rg(A^*) \lt n$, el sistema es **SCI** (Infinitas soluciones). - Si $rg(A) \neq rg(A^*)$, el sistema es **SI** (Sin solución).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot m \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot m) + (m \cdot 1 \cdot 1) - (m \cdot m \cdot m) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = m + m + m - m^3 - 1 - 1 = -m^3 + 3m - 2$$ Para encontrar los valores críticos, igualamos el determinante a cero: $$-m^3 + 3m - 2 = 0 \implies m^3 - 3m + 2 = 0$$ Probamos con divisores del término independiente (Ruffini). Para $m = 1$: $1^3 - 3(1) + 2 = 0$, por lo que $(m-1)$ es un factor. Dividiendo por Ruffini o factorizando: $$m^3 - 3m + 2 = (m - 1)^2(m + 2)$$ Los valores que anulan el determinante son **$m = 1$** y **$m = -2$**.

Si $m \neq 1$ y $m \neq -2$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas: $$rg(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ solo tiene 3 filas, su rango no puede ser mayor que 3. Al contener a $A$, su rango también será 3: $$rg(A^*) = 3$$ Al cumplirse $rg(A) = rg(A^*) = 3$, según el Teorema de Rouché-Frobenius: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 1, -2: \text{ Sistema Compatible Determinado (SCD)}}$$

Sustituimos $m = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ En este caso, las tres filas son idénticas. Por tanto, solo hay una fila linealmente independiente. $$rg(A) = 1 \quad y \quad rg(A^*) = 1$$ Como $rg(A) = rg(A^*) = 1 \lt 3$ (nº incógnitas), según el Teorema de Rouché-Frobenius: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 1: \text{ Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Sustituimos $m = -2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rg(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ tomando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-2 - 2 + 1) - (4 + 1 + 1) = -3 - 6 = -9 \neq 0$$ Como hemos encontrado un menor de orden 3 no nulo en la ampliada, $rg(A^*) = 3$. Al ser $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$, según el Teorema de Rouché-Frobenius: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = -2: \text{ Sistema Incompatible (SI)}}$$