Ecuaciones matriciales y parámetros

**2.1.1. Si $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$, halle $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tales que $A^2 + \alpha A + \beta I = 0$, donde $I$ y 0 son las matrices identidad y cero, respectivamente.** En primer lugar, calculamos la matriz $A^2$ realizando el producto de $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos filas por columnas: - Elemento (1,1): $2 \cdot 2 + 5 \cdot 2 = 4 + 10 = 14$ - Elemento (1,2): $2 \cdot 5 + 5 \cdot (-1) = 10 - 5 = 5$ - Elemento (2,1): $2 \cdot 2 + (-1) \cdot 2 = 4 - 2 = 2$ - Elemento (2,2): $2 \cdot 5 + (-1) \cdot (-1) = 10 + 1 = 11$ Por tanto: $$A^2 = \begin{pmatrix} 14 & 5 \\ 2 & 11 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo en general, aunque para calcular potencias ($A \cdot A$) esto no afecta, es fundamental seguir el orden fila por columna.

Sustituimos las matrices en la ecuación $A^2 + \alpha A + \beta I = 0$: $$\begin{pmatrix} 14 & 5 \\ 2 & 11 \end{pmatrix} + \alpha \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Sumamos los términos: $$\begin{pmatrix} 14 + 2\alpha + \beta & 5 + 5\alpha \\ 2 + 2\alpha & 11 - \alpha + \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Igualamos los elementos correspondientes para obtener un sistema de ecuaciones: 1) $14 + 2\alpha + \beta = 0$ 2) $5 + 5\alpha = 0$ 3) $2 + 2\alpha = 0$ 4) $11 - \alpha + \beta = 0$ De la ecuación (2) o (3), despejamos $\alpha$: $$5 + 5\alpha = 0 \implies 5\alpha = -5 \implies \alpha = -1$$ Sustituimos $\alpha = -1$ en la ecuación (1): $$14 + 2(-1) + \beta = 0 \implies 14 - 2 + \beta = 0 \implies 12 + \beta = 0 \implies \beta = -12$$ Comprobamos en la ecuación (4): $$11 - (-1) + (-12) = 11 + 1 - 12 = 0$$ (Se cumple). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = -1, \quad \beta = -12}$$

**2.1.2. Calcule la matriz cuadrada $X$ tal que $XA = B$, si $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. ¿Son iguales $XA$ y $AX$?** Para despejar $X$ en la ecuación $XA = B$, debemos multiplicar por la derecha por la inversa de $A$ ($A^{-1}$), siempre que esta exista: $$XA = B \implies XAA^{-1} = BA^{-1} \implies X = BA^{-1}$$ Primero comprobamos si $A$ es invertible calculando su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (0 \cdot 1) = 1 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, existe $A^{-1}$. Calculamos la matriz adjunta y la traspuesta: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies (Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} = \frac{1}{|A|}(Adj(A))^t = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $X$: $$X = B \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(1)+1(-1) & 2(0)+1(1) \\ 1(1)+1(-1) & 1(0)+1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al despejar en ecuaciones matriciales, el orden importa. Si la matriz está a la derecha ($XA$), su inversa debe multiplicar por la derecha ($BA^{-1}$). ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

Para responder si $XA$ y $AX$ son iguales, ya sabemos por el enunciado que $XA = B$: $$XA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $AX$: $$AX = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1)+0(0) & 1(1)+0(1) \\ 1(1)+1(0) & 1(1)+1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Comparamos ambos resultados: $$XA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \neq AX = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son iguales, } XA \neq AX}$$