Probabilidad y Estadística 2025 Galicia
Estadística y Probabilidad: Distribución Normal y Teorema de Bayes
PREGUNTA 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. (2,5 puntos)
CONTEXTO
Las cafeterías universitarias son espacios en los que, además de poder consumir alimentos y bebidas, en numerosas ocasiones se emplean como puntos de encuentro para otros eventos. Según los datos recogidos por la dirección de la cafetería de una facultad, el 65% de sus clientes son estudiantes, el 25% personal de la universidad y el 10% restante son personas ajenas a la universidad.
Con el objetivo de estudiar si es necesario realizar modificaciones en la cafetería, sus responsables han analizado datos sobre el tiempo de espera hasta que un cliente ha sido atendido y sobre la forma de realizar los pagos. Puede suponerse que el tiempo de espera hasta que un cliente es atendido sigue una distribución aproximadamente normal, con media igual a 5 minutos y de tal modo que el 90% de los clientes son atendidos antes de 8 minutos. Por los datos recogidos, han llegado a la conclusión de que el 30% de los estudiantes efectúan los pagos en efectivo, siendo este porcentaje igual al 70% para el personal de la universidad, mientras que el 80% de los pagos realizados por personas ajenas a la universidad se hacen en efectivo.
Responda estos tres apartados: 1.1., 1.2. y 1.3.
1.1. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente sea atendido antes de 4 minutos?
1.2. Calcular la probabilidad de que un pago en esta cafetería no haya sido realizado en efectivo.
1.3. Si un pago se hizo en efectivo, ¿qué es más probable, que haya sido realizado por estudiantes o por personal de la universidad?
Paso 1
Definir la variable y calcular la desviación típica
**1.1. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente sea atendido antes de 4 minutos?**
Definimos la variable aleatoria $X$ como el tiempo de espera hasta ser atendido (en minutos). Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal:
$$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(5, \sigma)$$
Se nos indica que el 90% de los clientes son atendidos antes de 8 minutos, es decir:
$$P(X \lt 8) = 0.90$$
Para trabajar con la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, tipificamos la variable usando $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$:
$$P\left( Z \lt \frac{8 - 5}{\sigma} \right) = 0.90 \implies P\left( Z \lt \frac{3}{\sigma} \right) = 0.90$$
Buscando en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$, el valor de $z$ cuya probabilidad acumulada es $0.90$ es aproximadamente $1.28$ (o $1.282$ para mayor precisión). Usaremos $1.28$:
$$\frac{3}{\sigma} = 1.28 \implies \sigma = \frac{3}{1.28} \approx 2.34375$$
💡 **Tip:** Para tipificar una variable normal, restamos la media y dividimos por la desviación típica: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$.
Paso 2
Calcular la probabilidad solicitada
Ahora que conocemos $\sigma \approx 2.34$, calculamos la probabilidad de que el tiempo de espera sea menor a 4 minutos:
$$P(X \lt 4) = P\left( Z \lt \frac{4 - 5}{2.34375} \right) = P(Z \lt -0.4267)$$
Redondeando a dos decimales para usar la tabla: $P(Z \lt -0.43)$. Debido a la simetría de la normal:
$$P(Z \lt -0.43) = P(Z \gt 0.43) = 1 - P(Z \le 0.43)$$
Consultando el valor $0.43$ en la tabla:
$$P(Z \le 0.43) = 0.6664$$
$$P(X \lt 4) = 1 - 0.6664 = 0.3336$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \lt 4) = 0.3336}$$
Paso 3
Esquema de probabilidades (Árbol)
**1.2. Calcular la probabilidad de que un pago en esta cafetería no haya sido realizado en efectivo.**
Primero definimos los sucesos:
- $E$: Estudiante. $P(E) = 0.65$
- $U$: Personal de la universidad. $P(U) = 0.25$
- $A$: Persona ajena. $P(A) = 0.10$
- $C$: Pago en efectivo.
- $\bar{C}$: Pago no realizado en efectivo (tarjeta u otros).
Representamos la situación mediante un árbol de probabilidades:
💡 **Tip:** El sumatorio de las probabilidades que parten de un mismo nodo debe ser siempre 1.
Paso 4
Aplicar el Teorema de la Probabilidad Total
Para calcular $P(\bar{C})$, utilizamos el Teorema de la Probabilidad Total, sumando las probabilidades de llegar a un pago no en efectivo a través de cada tipo de cliente:
$$P(\bar{C}) = P(E) \cdot P(\bar{C}|E) + P(U) \cdot P(\bar{C}|U) + P(A) \cdot P(\bar{C}|A)$$
Sustituimos los valores obtenidos del enunciado y del árbol:
$$P(\bar{C}) = (0.65 \cdot 0.70) + (0.25 \cdot 0.30) + (0.10 \cdot 0.20)$$
$$P(\bar{C}) = 0.455 + 0.075 + 0.02 = 0.55$$
La probabilidad de que un pago no sea en efectivo es del 55%.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{C}) = 0.55}$$
Paso 5
Comparar probabilidades mediante el Teorema de Bayes
**1.3. Si un pago se hizo en efectivo, ¿qué es más probable, que haya sido realizado por estudiantes o por personal de la universidad?**
Debemos comparar las probabilidades condicionadas $P(E|C)$ y $P(U|C)$. Primero calculamos la probabilidad de que un pago sea en efectivo $P(C)$:
$$P(C) = 1 - P(\bar{C}) = 1 - 0.55 = 0.45$$
Aplicamos el Teorema de Bayes para cada caso:
**Para estudiantes:**
$$P(E|C) = \frac{P(E) \cdot P(C|E)}{P(C)} = \frac{0.65 \cdot 0.30}{0.45} = \frac{0.195}{0.45} \approx 0.4333$$
**Para personal de la universidad:**
$$P(U|C) = \frac{P(U) \cdot P(C|U)}{P(C)} = \frac{0.25 \cdot 0.70}{0.45} = \frac{0.175}{0.45} \approx 0.3889$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite calcular la probabilidad de una causa dado un efecto observado: $P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$.
Al comparar ambos resultados, observamos que $0.4333 \gt 0.3889$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Es más probable que haya sido realizado por un estudiante.}}$$