Posición relativa de rectas y plano que las contiene

**4.2.1. Calcule la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.** Primero extraemos un punto y un vector director de cada recta a partir de sus ecuaciones continuas. Para la recta $r$: - Punto $P_r = (1, 2, 1)$ - Vector director $\vec{v}_r = (2, -1, 1)$ Para la recta $s$: - Punto $P_s = (2, 1, 1)$ - Vector director $\vec{v}_s = (4, -2, 2)$ 💡 **Tip:** En la forma continua $\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(u_1, u_2, u_3)$.

Comparamos los vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ para ver si son proporcionales: $$\frac{4}{2} = \frac{-2}{-1} = \frac{2}{1} = 2$$ Como sus componentes son proporcionales, los vectores son linealmente dependientes (paralelos): $$\vec{v}_s = 2 \cdot \vec{v}_r$$ Esto implica que las rectas $r$ y $s$ son **paralelas o coincidentes**. 💡 **Tip:** Si los vectores directores son proporcionales, las rectas tienen la misma dirección.

Para distinguir entre paralelas y coincidentes, comprobamos si un punto de $r$ pertenece a $s$. Sustituimos $P_r(1, 2, 1)$ en la ecuación de $s$: $$\frac{1-2}{4} = \frac{2-1}{-2} = \frac{1-1}{2} \implies -\frac{1}{4} = -\frac{1}{2} = 0$$ Como las igualdades no se cumplen, el punto $P_r \notin s$. Por tanto, las rectas no comparten todos sus puntos. Conclusión: Las rectas $r$ y $s$ son **paralelas**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ son paralelas.}}$$

**4.2.2. Obtenga la ecuación del plano que contiene a las rectas $r$ y $s$.** Para determinar un plano $\pi$ que contiene a dos rectas paralelas, necesitamos: 1. Un punto del plano: Usaremos $P_r(1, 2, 1)$. 2. Dos vectores directores contenidos en el plano que no sean proporcionales: - El vector director de las rectas: $\vec{v}_r = (2, -1, 1)$. - Un vector que una un punto de $r$ con un punto de $s$: $\vec{P_r P_s} = P_s - P_r$. Calculamos $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = (2-1, 1-2, 1-1) = (1, -1, 0)$$ 💡 **Tip:** Cuando las rectas son paralelas, no podemos usar ambos vectores directores porque son el mismo. Necesitamos construir un segundo vector usando puntos de ambas rectas.

El vector normal $\vec{n}$ al plano se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores directores hallados: $$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{P_r P_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus (o desarrollo por adjuntos): $$\vec{n} = \vec{i} \cdot (-1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) - \vec{j} \cdot (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + \vec{k} \cdot (2 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1)$$ $$\vec{n} = \vec{i} \cdot (1) - \vec{j} \cdot (-1) + \vec{k} \cdot (-2 + 1)$$ $$\vec{n} = (1, 1, -1)$$ $$\boxed{\vec{n} = (1, 1, -1)}$$

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal $\vec{n} = (1, 1, -1)$: $$1x + 1y - 1z + D = 0 \implies x + y - z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el punto $P_r(1, 2, 1)$ pertenezca al plano: $$1 + 2 - 1 + D = 0 \implies 2 + D = 0 \implies D = -2$$ La ecuación del plano es $x + y - z - 2 = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + y - z - 2 = 0}$$