Distancia entre punto y plano paralelo e intersección de planos

**4.1.1. Calcule la distancia del punto $A$ al plano paralelo a $\pi$ que pasa por $B$.** Primero, necesitamos determinar la ecuación del plano $\pi_B$ que es paralelo a $\pi$ y contiene al punto $B(-1, -2, 3)$. Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales (o iguales). El vector normal al plano $\pi: 2x + 3y + z + 1 = 0$ es: $$\vec{n_\pi} = (2, 3, 1)$$ La ecuación de cualquier plano paralelo a $\pi$ tendrá la forma $2x + 3y + z + D = 0$. Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $B(-1, -2, 3)$: $$2(-1) + 3(-2) + (3) + D = 0$$ $$-2 - 6 + 3 + D = 0$$ $$-5 + D = 0 \implies D = 5$$ Por tanto, el plano paralelo es: $$\pi_B: 2x + 3y + z + 5 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un plano tiene ecuación $Ax + By + Cz + D = 0$, su vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

Calculamos ahora la distancia del punto $A(2, 1, 0)$ al plano $\pi_B: 2x + 3y + z + 5 = 0$ utilizando la fórmula de la distancia de un punto a un plano: $$d(A, \pi_B) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos las coordenadas de $A$ y los coeficientes de $\pi_B$: $$d(A, \pi_B) = \frac{|2(2) + 3(1) + 1(0) + 5|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2}}$$ $$d(A, \pi_B) = \frac{|4 + 3 + 0 + 5|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{12}{\sqrt{14}}$$ Para expresar el resultado de forma más elegante, racionalizamos: $$\frac{12}{\sqrt{14}} = \frac{12\sqrt{14}}{14} = \frac{6\sqrt{14}}{7}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(A, \pi_B) = \frac{6\sqrt{14}}{7} \text{ unidades}}$$

**4.1.2. Obtenga las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos $\pi$ y $\pi'$.** La recta $r$ viene dada por la intersección de: $$\begin{cases} \pi: 2x + 3y + z + 1 = 0 \\ \pi': x + z - 1 = 0 \end{cases}$$ El vector director de la recta, $\vec{v_r}$, se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de ambos planos: $$\vec{n_\pi} = (2, 3, 1), \quad \vec{n_{\pi'}} = (1, 0, 1)$$ Calculamos el determinante paso a paso: $$\vec{v_r} = \vec{n_\pi} \times \vec{n_{\pi'}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila (o Sarrus): $$\vec{v_r} = \vec{i} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_r} = \vec{i}(3-0) - \vec{j}(2-1) + \vec{k}(0-3) = 3\vec{i} - 1\vec{j} - 3\vec{k}$$ $$\vec{v_r} = (3, -1, -3)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es siempre perpendicular a los normales de dichos planos.

Para obtener las ecuaciones paramétricas, necesitamos un punto $P$ que pertenezca a la recta. Buscamos una solución particular del sistema formado por los planos. Fijamos, por ejemplo, $y = 0$: $$\begin{cases} 2x + z + 1 = 0 \\ x + z - 1 = 0 \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación de la primera: $$(2x - x) + (z - z) + (1 - (-1)) = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2$$ Sustituimos $x = -2$ en $x + z - 1 = 0$: $$-2 + z - 1 = 0 \implies z = 3$$ El punto obtenido es $P(-2, 0, 3)$. Con el punto $P(-2, 0, 3)$ y el vector director $\vec{v_r} = (3, -1, -3)$, escribimos las **ecuaciones paramétricas**: $$\begin{cases} x = -2 + 3\lambda \\ y = -\lambda \\ z = 3 - 3\lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} x = -2 + 3\lambda \\ y = -\lambda \\ z = 3 - 3\lambda \end{cases}}$$