Continuidad, derivabilidad y recta tangente de una función a trozos

**3.2.1. Estudie la continuidad de la función $f(x)$ en $x = 0$.** Para que una función sea continua en un punto $x=a$, deben coincidir el valor de la función en el punto y sus límites laterales. 1. **Valor de la función en $x=0$:** Usamos la segunda rama ($x \ge 0$): $$f(0) = \frac{\ln(1+0)}{1+0} = \frac{\ln(1)}{1} = \frac{0}{1} = 0$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** Usamos la primera rama ($x \lt 0$): $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (xe^{4x}) = 0 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** Usamos la segunda rama ($x \ge 0$): $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{1+x} = \frac{\ln(1)}{1} = 0$$ Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$, la función es continua. 💡 **Tip:** Una función es continua en $x=a$ si $\exists f(a)$ y $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. En funciones a trozos, esto obliga a que los límites laterales en el punto de salto sean iguales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f(x) \text{ es continua en } x = 0}$$

**3.2.2. Estudie la derivabilidad de la función $f(x)$ en $x = 0$.** Primero, calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 0$. **Rama 1 ($x \lt 0$):** $f(x) = xe^{4x}$. Usamos la regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$: $$f'(x) = 1 \cdot e^{4x} + x \cdot (e^{4x} \cdot 4) = e^{4x} + 4xe^{4x} = e^{4x}(1 + 4x)$$ **Rama 2 ($x \gt 0$):** $f(x) = \frac{\ln(1+x)}{1+x}$. Usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$f'(x) = \frac{\frac{1}{1+x} \cdot (1+x) - \ln(1+x) \cdot 1}{(1+x)^2} = \frac{1 - \ln(1+x)}{(1+x)^2}$$ La función derivada queda: $$f'(x) = \begin{cases} e^{4x}(1 + 4x) & \text{si } x \lt 0 \\ \frac{1 - \ln(1+x)}{(1+x)^2} & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$

Para que sea derivable en $x=0$, ya habiendo comprobado que es continua, deben coincidir las derivadas laterales: 1. **Derivada lateral izquierda:** $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} e^{4x}(1 + 4x) = e^0(1 + 0) = 1$$ 2. **Derivada lateral derecha:** $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \ln(1+x)}{(1+x)^2} = \frac{1 - \ln(1)}{(1+0)^2} = \frac{1 - 0}{1} = 1$$ Como $f'(0^-) = f'(0^+) = 1$, la función es derivable en dicho punto. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, es condición necesaria que primero sea continua en él. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f(x) \text{ es derivable en } x = 0 \text{ y } f'(0) = 1}$$

**3.2.3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x)$ en $x = -1$.** La ecuación de la recta tangente en $x = a$ es: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. En este caso, $a = -1$. Como $x = -1 \lt 0$, trabajamos con la primera rama: $f(x) = xe^{4x}$. 1. **Punto de tangencia:** $$f(-1) = -1 \cdot e^{4(-1)} = -e^{-4} = -\frac{1}{e^4}$$ 2. **Pendiente de la tangente ($m$):** Usamos la derivada hallada anteriormente $f'(x) = e^{4x}(1 + 4x)$: $$f'(-1) = e^{4(-1)}(1 + 4(-1)) = e^{-4}(1 - 4) = -3e^{-4} = -\frac{3}{e^4}$$ 3. **Ecuación de la recta:** $$y - \left( -\frac{1}{e^4} \right) = -\frac{3}{e^4}(x - (-1))$$ $$y + \frac{1}{e^4} = -\frac{3}{e^4}(x + 1)$$ Multiplicando todo por $e^4$ o despejando $y$: $$y = -\frac{3}{e^4}x - \frac{3}{e^4} - \frac{1}{e^4} = -\frac{3x + 4}{e^4}$$ 💡 **Tip:** La recta tangente representa la mejor aproximación lineal de la función en las proximidades del punto. Su pendiente es siempre el valor de la derivada en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -\frac{3}{e^4}x - \frac{4}{e^4} \quad \text{o} \quad 3x + e^4y + 4 = 0}$$