Teorema del valor medio e integración por partes

**3.1.1. Enuncie el teorema del valor medio del cálculo diferencial.** El teorema del valor medio (o de Lagrange) establece las condiciones bajo las cuales una función tiene un punto donde su derivada es igual a la pendiente media del intervalo. Sea $f(x)$ una función que cumple las siguientes hipótesis: 1. $f$ es **continua** en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. $f$ es **derivable** en el intervalo abierto $(a, b)$. Entonces, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que: $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ Geométricamente, esto significa que existe un punto en el intervalo donde la recta tangente es paralela a la recta secante que une los puntos $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$. 💡 **Tip:** Recuerda que las hipótesis son fundamentales. Si la función no es continua en los extremos o no es derivable en algún punto del interior, el teorema no se puede asegurar.

**3.1.2. Calcule $\int e^x \cos 3x dx$.** Para resolver esta integral, utilizaremos el método de **integración por partes**, ya que tenemos un producto de una función exponencial y una trigonométrica. Llamamos $I = \int e^x \cos 3x dx$. Elegimos las partes según la regla ALPES (aunque en este caso el orden de exponencial y trigonométrica es indistinto, mantendremos una elección coherente): - $u = \cos 3x \implies du = -3 \sin 3x \, dx$ - $dv = e^x \, dx \implies v = e^x$ Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$I = e^x \cos 3x - \int e^x (-3 \sin 3x) \, dx$$ $$I = e^x \cos 3x + 3 \int e^x \sin 3x \, dx$$ 💡 **Tip:** La fórmula de integración por partes es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica común es "Un Día Vi Una Vaca Sin (menos integral) Cola (v) Vestida De Uniforme (du)".

La nueva integral $\int e^x \sin 3x \, dx$ también requiere integración por partes. Es crucial mantener la misma elección de tipos de funciones para $u$ y $dv$ para no deshacer el camino andado. Para $J = \int e^x \sin 3x \, dx$: - $u = \sin 3x \implies du = 3 \cos 3x \, dx$ - $dv = e^x \, dx \implies v = e^x$ Aplicamos la fórmula de nuevo: $$J = e^x \sin 3x - \int e^x (3 \cos 3x) \, dx$$ $$J = e^x \sin 3x - 3 \int e^x \cos 3x \, dx$$ Observamos que ha vuelto a aparecer nuestra integral original $I$: $$J = e^x \sin 3x - 3I$$ 💡 **Tip:** En integrales cíclicas (donde aparecen exponenciales con senos o cosenos), al aplicar el método dos veces siempre debe reaparecer la integral original.

Sustituimos el valor de $J$ en la ecuación de $I$ que obtuvimos en el paso 2: $$I = e^x \cos 3x + 3 (e^x \sin 3x - 3I)$$ Ahora realizamos las operaciones algebraicas para despejar $I$: $$I = e^x \cos 3x + 3 e^x \sin 3x - 9I$$ Sumamos $9I$ en ambos lados de la ecuación: $$10I = e^x \cos 3x + 3 e^x \sin 3x$$ Factorizamos $e^x$ y despejamos $I$: $$10I = e^x (\cos 3x + 3 \sin 3x)$$ $$I = \frac{e^x (\cos 3x + 3 \sin 3x)}{10} + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int e^x \cos 3x dx = \frac{e^x}{10} (\cos 3x + 3 \sin 3x) + C}$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca añadir la constante de integración $C$ al finalizar el cálculo de una integral indefinida.