Discusión de un sistema de ecuaciones con parámetro

**2.2. Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema $\begin{cases} x + my + z = m, \\ x + (3 - m)z = 2m, \\ my + 2z = 3m. \end{cases}$** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ 1 & 0 & 3-m \\ 0 & m & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & m & 1 & m \\ 1 & 0 & 3-m & 2m \\ 0 & m & 2 & 3m \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según los valores de $m$, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, analizando el rango de ambas matrices. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema es compatible si y solo si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*)$. Si además este rango es igual al número de incógnitas, el sistema es determinado.

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & m & 1 \\ 1 & 0 & 3-m \\ 0 & m & 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot 0 \cdot 2) + (1 \cdot m \cdot 1) + (0 \cdot m \cdot (3-m)) - [ (0 \cdot 0 \cdot 1) + (m \cdot (3-m) \cdot 1) + (2 \cdot m \cdot 1) ]$$ $$|A| = (0 + m + 0) - [ 0 + (3m - m^2) + 2m ]$$ $$|A| = m - (5m - m^2) = m^2 - 4m$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$m^2 - 4m = 0 \implies m(m - 4) = 0$$ Esto nos da dos valores: **$m = 0$** y **$m = 4$**. $$\boxed{|A| = m^2 - 4m; \quad |A| = 0 \iff m = 0, m = 4}$$

Si $m \neq 0$ y $m \neq 4$, entonces el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso: - $\text{rang}(A) = 3$ - $\text{rang}(A^*) = 3$ (ya que es la dimensión máxima y $A$ está contenida en $A^*$) - El número de incógnitas es $3$. Según el Teorema de Rouché-Frobenius, al coincidir los rangos con el número de incógnitas, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 0, 4: \text{ Sistema Compatible Determinado (solución única)}}$$

Sustituimos $m = 0$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}\right)$$ Analizamos los rangos: - Como $|A| = 0$, el $\text{rang}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 1 = 2 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2.$$ - Observamos la matriz ampliada. La columna de términos independientes es nula (sistema homogéneo en este caso), por lo que el rango de la ampliada no puede aumentar. - $\text{rang}(A^*) = 2$. Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 0: \text{ Sistema Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)}}$$

Sustituimos $m = 4$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & -1 & 8 \\ 0 & 4 & 2 & 12 \end{array}\right)$$ Analizamos los rangos: - Como $|A| = 0$, el $\text{rang}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -4 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2.$$ - Ahora estudiamos el $\text{rang}(A^*)$ orlando dicho menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 1 & 0 & 8 \\ 0 & 4 & 12 \end{vmatrix} = (0 + 0 + 16) - (0 + 32 + 48) = 16 - 80 = -64 \neq 0.$$ Como el determinante del menor de orden 3 en $A^*$ es no nulo, $\text{rang}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3$, según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 4: \text{ Sistema Incompatible (no tiene solución)}}$$