Invertibilidad y ecuaciones matriciales

**2.1.1. ¿Qué condición tiene que cumplir $k$ para que $A$ sea invertible? Calcule $A^{-1}$ cuando sea posible.** Para que una matriz cuadrada $A$ sea invertible, es necesario y suficiente que su determinante sea distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix} = (1 \cdot 4 \cdot k) + (2 \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot 2 \cdot 1) - (0 \cdot 4 \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (k \cdot 2 \cdot 2)$$ $$|A| = 4k + 2 + 0 - 0 - 1 - 4k = 1$$ Como $|A| = 1$ para cualquier valor de $k$, el determinante nunca es nulo. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante es constante e independiente de la variable, la matriz será siempre invertible o nunca invertible independientemente del valor de dicha variable. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } A \text{ es invertible para cualquier } k \in \mathbb{R}}$$

Como $A$ es siempre invertible, procedemos a calcular $A^{-1}$ en función de $k$ usando la fórmula: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$$ Primero hallamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = 4k-1$; $A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = -(2k-1)$; $A_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & k \end{vmatrix} = -2k$; $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & k \end{vmatrix} = k$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 2$; $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1$; $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 0$ La matriz adjunta es $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4k-1 & 1-2k & -2 \\ -2k & k & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$. Transponemos para obtener la inversa: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 4k-1 & -2k & 2 \\ 1-2k & k & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 4k-1 & -2k & 2 \\ 1-2k & k & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

**2.1.2. Para $k = 0$, calcule la matriz $X$ que satisfaga la igualdad $AX - A = B^2 + A^T$ siendo $A^T$ la traspuesta de $A$.** Primero, despejamos la matriz $X$ de la ecuación: $$AX - A = B^2 + A^T \implies AX = B^2 + A^T + A$$ Como $A$ es invertible ($|A|=1$), podemos multiplicar por $A^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros: $$A^{-1}(AX) = A^{-1}(B^2 + A^T + A) \implies X = A^{-1}(B^2 + A^T + A)$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de los productos es crucial. Si multiplicas por $A^{-1}$ por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro.

Sustituimos $k = 0$ en las matrices conocidas: 1. Matriz $A$ y su traspuesta $A^T$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \implies A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 2. Matriz $B^2$: $$B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ 3. Calculamos la suma $C = B^2 + A^T + A$: $$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 4 & 9 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ 4. Matriz inversa $A^{-1}$ para $k=0$: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Calculamos $X = A^{-1} \cdot C$: $$X = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 4 & 9 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(-1 \cdot 3 + 0 \cdot 4 + 2 \cdot 1) = -1$; $(-1 \cdot 4 + 0 \cdot 9 + 2 \cdot 2) = 0$; $(-1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1) = 1$ - Fila 2: $(1 \cdot 3 + 0 \cdot 4 - 1 \cdot 1) = 2$; $(1 \cdot 4 + 0 \cdot 9 - 1 \cdot 2) = 2$; $(1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = 0$ - Fila 3: $(-2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 1) = -2$; $(-2 \cdot 4 + 1 \cdot 9 + 0 \cdot 2) = 1$; $(-2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1) = 0$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$$