Probabilidad y Estadística 2025 Galicia
Probabilidad condicionada e independencia de sucesos
PREGUNTA 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. (2,5 puntos)
CONTEXTO
En los últimos años, hay una tendencia que sigue en aumento: emplear calzado deportivo no únicamente para realizar actividad física, sino como calzado de uso diario. Los motivos principales son su versatilidad y comodidad, ya que pueden combinarse con casi cualquier atuendo al mismo tiempo que permiten realizar movimientos naturales.
Antón es un apasionado de este tipo de calzado, del que tiene 60 pares, guardando cada par en su correspondiente caja. El 80% son zapatillas tradicionales y el 20% zapatillas de diseño. Entre las zapatillas de diseño, el 75% están en buen estado, pero solo el 50% de las zapatillas tradicionales están en buen estado. Un día que se levantó con el tiempo justo, para no llegar tarde al trabajo, cogió al azar una caja y se calzó las zapatillas de esa caja.
Responda estos tres apartados: 1.1., 1.2. y 1.3.
1.1. ¿Cuál es la probabilidad de que Antón vaya calzado con zapatillas tradicionales o zapatillas en buen estado?
1.2. Al salir del trabajo, Antón decide ir al cine con dos amigos. Antón no quiere llevar calzadas zapatillas que no estén en buen estado ni zapatillas tradicionales, ¿cuál sería la probabilidad de que no tenga que pasar por su casa a cambiar las zapatillas?
1.3. Antón tiene 8 pares de zapatillas tradicionales de color blanco. Sabiendo que al escoger al azar una caja de sus zapatillas los sucesos “ser blancas” y “ser de diseño” son sucesos independientes, ¿cuántos pares de zapatillas blancas de diseño tiene Antón?
Paso 1
Definición de sucesos y esquema de árbol
Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales a partir de los datos del enunciado:
- $T$: Las zapatillas son tradicionales.
- $D$: Las zapatillas son de diseño (suceso contrario a $T$, ya que $P(D) = 1 - P(T)$).
- $G$: Las zapatillas están en buen estado.
- $\bar{G}$: Las zapatillas no están en buen estado.
Datos proporcionados:
- $P(T) = 0.80$
- $P(D) = 0.20$
- $P(G|D) = 0.75$
- $P(G|T) = 0.50$
Podemos representar esta información en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de la unión
**1.1. ¿Cuál es la probabilidad de que Antón vaya calzado con zapatillas tradicionales o zapatillas en buen estado?**
Se nos pide la probabilidad de la unión: $P(T \cup G)$. Aplicamos la fórmula fundamental:
$$P(T \cup G) = P(T) + P(G) - P(T \cap G)$$
Calculamos primero las probabilidades necesarias:
1. $P(T) = 0.8$
2. $P(T \cap G) = P(T) \cdot P(G|T) = 0.8 \cdot 0.5 = 0.4$
3. Para hallar $P(G)$, usamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(G) = P(T) \cdot P(G|T) + P(D) \cdot P(G|D)$$
$$P(G) = (0.8 \cdot 0.5) + (0.2 \cdot 0.75) = 0.4 + 0.15 = 0.55$$
Sustituimos en la fórmula de la unión:
$$P(T \cup G) = 0.8 + 0.55 - 0.4 = 0.95$$
💡 **Tip:** También podrías razonar que $T \cup G$ incluye todas las tradicionales ($T$) y las de diseño que están en buen estado ($D \cap G$). Así: $P(T \cup G) = P(T) + P(D \cap G) = 0.8 + 0.15 = 0.95$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(T \cup G) = 0.95}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad de la intersección
**1.2. Al salir del trabajo, Antón decide ir al cine con dos amigos. Antón no quiere llevar calzadas zapatillas que no estén en buen estado ni zapatillas tradicionales, ¿cuál sería la probabilidad de que no tenga que pasar por su casa a cambiar las zapatillas?**
El enunciado indica que Antón no quiere llevar zapatillas en mal estado ($\bar{G}$) ni tradicionales ($T$). Esto significa que las zapatillas deben cumplir simultáneamente:
- Estar en buen estado ($G$)
- No ser tradicionales, es decir, ser de diseño ($D$)
Buscamos la probabilidad de la intersección: $P(G \cap D)$.
Utilizando la probabilidad condicionada:
$$P(G \cap D) = P(D) \cdot P(G|D)$$
$$P(G \cap D) = 0.2 \cdot 0.75 = 0.15$$
💡 **Tip:** El suceso "no (A ni B)" es equivalente por las Leyes de De Morgan a "no A y no B". En este caso, $\overline{\bar{G} \cup T} = G \cap \bar{T} = G \cap D$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(G \cap D) = 0.15}$$
Paso 4
Independencia de sucesos y conteo
**1.3. Antón tiene 8 pares de zapatillas tradicionales de color blanco. Sabiendo que al escoger al azar una caja de sus zapatillas los sucesos “ser blancas” y “ser de diseño” son sucesos independientes, ¿cuántos pares de zapatillas blancas de diseño tiene Antón?**
Sea $W$ el suceso "ser de color blanco" y $D$ el suceso "ser de diseño".
Sabemos que el número total de pares es $N = 60$. De estos:
- Tradicionales: $0.8 \cdot 60 = 48$ pares.
- Diseño ($D$): $0.2 \cdot 60 = 12$ pares.
- Blancas y Tradicionales ($W \cap T$): 8 pares.
Sea $x$ el número de pares de zapatillas blancas de diseño ($W \cap D$). El número total de blancas es $8 + x$.
Calculamos las probabilidades en función de $x$:
- $P(D) = \frac{12}{60} = 0.2$
- $P(W) = \frac{8 + x}{60}$
- $P(W \cap D) = \frac{x}{60}$
Como los sucesos $W$ y $D$ son **independientes**, se debe cumplir:
$$P(W \cap D) = P(W) \cdot P(D)$$
Sustituimos:
$$\frac{x}{60} = \frac{8 + x}{60} \cdot 0.2$$
Multiplicamos ambos lados por 60:
$$x = (8 + x) \cdot 0.2$$
$$x = 1.6 + 0.2x$$
$$x - 0.2x = 1.6 \implies 0.8x = 1.6$$
$$x = \frac{1.6}{0.8} = 2$$
💡 **Tip:** Si dos sucesos son independientes, la probabilidad de uno no se ve afectada por la ocurrencia del otro. Esto implica que la proporción de blancas en el grupo de diseño debe ser la misma que la proporción de blancas en el grupo tradicional.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Antón tiene 2 pares de zapatillas blancas de diseño}}$$