Distribución Normal: Altura de estudiantes

**a) 1 punto. Calcular el porcentaje de estudiantes cuya altura está entre 162 cm y 186 cm** Definimos la variable aleatoria $X$ como la altura de los estudiantes en cm. El enunciado indica que $X$ sigue una distribución normal de media $\mu = 174$ y desviación típica $\sigma = 12$: $$X \sim N(174, 12)$$ Para calcular probabilidades en una normal distinta a la estándar, debemos **tipificar** la variable utilizando la expresión $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(162 \le X \le 186) = P\left(\frac{162 - 174}{12} \le Z \le \frac{186 - 174}{12}\right)$$ $$P(162 \le X \le 186) = P\left(\frac{-12}{12} \le Z \le \frac{12}{12}\right) = P(-1 \le Z \le 1)$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite usar la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ para calcular cualquier probabilidad de una normal $N(\mu, \sigma)$.

Aplicamos las propiedades de simetría de la distribución normal para calcular $P(-1 \le Z \le 1)$: $$P(-1 \le Z \le 1) = p(Z \le 1) - p(Z \le -1)$$ $$P(-1 \le Z \le 1) = p(Z \le 1) - [1 - p(Z \le 1)] = 2 \cdot p(Z \le 1) - 1$$ Buscamos el valor para $Z = 1$ en la tabla de la $N(0,1)$: $$p(Z \le 1) = 0,8413$$ Sustituimos: $$P(-1 \le Z \le 1) = 2 \cdot 0,8413 - 1 = 1,6826 - 1 = 0,6826$$ Para dar el resultado en porcentaje, multiplicamos por 100: $$0,6826 \cdot 100 = 68,26\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{68,26\%}$$

**b) 1 punto. ¿Qué altura tendrá un alumno si el 67% de los estudiantes miden más que él?** Buscamos un valor de altura $k$ tal que la probabilidad de que un alumno mida más que él sea del $0,67$: $$P(X \gt k) = 0,67$$ Pasamos a la probabilidad acumulada (menor o igual) para poder trabajar con la tabla: $$1 - P(X \le k) = 0,67 \implies P(X \le k) = 1 - 0,67 = 0,33$$ Tipificamos la expresión: $$P\left(Z \le \frac{k - 174}{12}\right) = 0,33$$ 💡 **Tip:** Si la probabilidad acumulada es menor que $0,5$, el valor de $z$ buscado será negativo, ya que la media deja el $50\%$ a cada lado.

Llamamos $z = \dfrac{k - 174}{12}$. Como $p(Z \le z) = 0,33 \lt 0,5$, sabemos que $z$ es negativo. Por simetría: $$p(Z \le z) = p(Z \gt -z) = 1 - p(Z \le -z) = 0,33$$ $$p(Z \le -z) = 1 - 0,33 = 0,67$$ Buscamos en el interior de la tabla el valor más cercano a $0,67$. Encontramos que para $Z = 0,44$ la probabilidad es $0,6700$. Por lo tanto: $$-z = 0,44 \implies z = -0,44$$ Ahora despejamos $k$ de la fórmula de tipificación: $$-0,44 = \frac{k - 174}{12}$$ $$k - 174 = -0,44 \cdot 12$$ $$k = 174 - 5,28 = 168,72 \text{ cm}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{168,72 \text{ cm}}$$

**c) 0,5 puntos. Si tomamos una muestra de 1000 estudiantes de esa población ¿cuántos tendrán una altura superior a 170 cm?** Primero calculamos la probabilidad de que un estudiante elegido al azar mida más de $170$ cm: $$P(X \gt 170) = P\left(Z \gt \frac{170 - 174}{12}\right) = P\left(Z \gt \frac{-4}{12}\right) = P(Z \gt -0,33)$$ Por simetría: $$P(Z \gt -0,33) = p(Z \le 0,33)$$ Buscamos en la tabla de la $N(0,1)$ el valor correspondiente a $0,33$: $$p(Z \le 0,33) = 0,6293$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z \gt -a) = P(Z \le a)$ por la forma acampanada y simétrica de la campana de Gauss.

Para hallar el número esperado de estudiantes en una muestra de $N = 1000$, multiplicamos el tamaño de la muestra por la probabilidad obtenida: $$\text{Número de estudiantes} = N \cdot P(X \gt 170)$$ $$\text{Número de estudiantes} = 1000 \cdot 0,6293 = 629,3$$ Como estamos contando personas, redondeamos al número entero más cercano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{629 \text{ estudiantes}}$$