Coplanaridad, planos y áreas en el espacio

**a) Calcular $m$ para que los 4 puntos sean coplanarios.** Para que cuatro puntos $A, B, C$ y $D$ sean coplanarios, los vectores formados a partir de uno de ellos (por ejemplo, el punto $A$) deben ser linealmente dependientes. Esto significa que el determinante de la matriz formada por los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$ debe ser igual a cero. Calculamos primero los vectores: - $\vec{AB} = B - A = (1-1, m-0, 6-2) = (0, m, 4)$ - $\vec{AC} = C - A = (2-1, 1-0, 4-2) = (1, 1, 2)$ - $\vec{AD} = D - A = (4-1, 3-0, 2-2) = (3, 3, 0)$ 💡 **Tip:** Cuatro puntos son coplanarios si el volumen del paralelepípedo que forman es cero, lo cual equivale a que su producto mixto sea nulo: $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.

Planteamos el determinante de los tres vectores y lo igualamos a cero: $$\begin{vmatrix} 0 & m & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$\text{Det} = [0 \cdot 1 \cdot 0 + m \cdot 2 \cdot 3 + 4 \cdot 1 \cdot 3] - [4 \cdot 1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 \cdot 3 + m \cdot 1 \cdot 0]$$ $$\text{Det} = [0 + 6m + 12] - [12 + 0 + 0] = 6m + 12 - 12 = 6m$$ Para que sean coplanarios: $$6m = 0 \implies m = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 0}$$

**b) Obtener la ecuación general del plano $ACD$.** Para obtener la ecuación del plano que pasa por los puntos $A, C$ y $D$, utilizaremos el punto $A(1,0,2)$ y los vectores directores $\vec{AC}=(1,1,2)$ y $\vec{AD}=(3,3,0)$. Cualquier punto $X(x,y,z)$ del plano cumple que el vector $\vec{AX} = (x-1, y-0, z-2)$ es coplanario con $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$. Por tanto, el determinante formado por ellos debe ser cero: $$\begin{vmatrix} x-1 & y-0 & z-2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$(x-1) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} - (y) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} + (z-2) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x-1)(0-6) - y(0-6) + (z-2)(3-3) = 0$$ $$-6(x-1) + 6y + 0 = 0$$ $$-6x + 6 + 6y = 0$$ Simplificamos dividiendo toda la ecuación por $-6$: $$x - y - 1 = 0$$ 💡 **Tip:** La ecuación general de un plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ es el vector normal al plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - y - 1 = 0}$$

**c) Para $m=2$, calcular un vector perpendicular al plano $ABC$ de módulo 4 y calcular el área del triángulo $ABC$.** Si $m=2$, los puntos son $A(1,0,2), B(1,2,6)$ y $C(2,1,4)$. Los vectores son: $\vec{AB} = (0, 2, 4)$ $\vec{AC} = (1, 1, 2)$ Un vector perpendicular al plano es el resultado del producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$: $$\vec{v} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v} = \vec{i}(4-4) - \vec{j}(0-4) + \vec{k}(0-2) = (0, 4, -2)$$ Calculamos el módulo de este vector: $$|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores es siempre un vector perpendicular al plano que los contiene.

Queremos un vector $\vec{w}$ perpendicular de módulo $4$. Para ello, normalizamos $\vec{v}$ (lo hacemos de módulo 1) y lo multiplicamos por 4: $$\vec{w} = \pm 4 \cdot \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \pm 4 \cdot \frac{(0, 4, -2)}{2\sqrt{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} (0, 4, -2)$$ Racionalizando y operando: $$\vec{w} = \pm \left( 0, \frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{-4}{\sqrt{5}} \right) = \pm \left( 0, \frac{8\sqrt{5}}{5}, -\frac{4\sqrt{5}}{5} \right)$$ Tomando la solución positiva: ✅ **Resultado (vector perpendicular):** $$\boxed{\vec{w} = \left( 0, \frac{8\sqrt{5}}{5}, -\frac{4\sqrt{5}}{5} \right)}$$

El área del triángulo formado por los puntos $A, B$ y $C$ es la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Ya hemos calculado que $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = 2\sqrt{5}$, por tanto: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{5} \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que forman. La mitad es el área del triángulo. ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{\text{Área} = \sqrt{5} \approx 2,236 \text{ u}^2}$$