Geometría en el espacio: Posición relativa, distancias y planos

**a) Comprobar que el plano $\pi= x+y-z=3$ y la recta $r \equiv \frac{x}{3} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+1}{2}$ no se cortan.** Para comprobar que la recta y el plano no se cortan, primero extraemos el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$ y el vector director de la recta $\vec{d}_r$: - Del plano $\pi \equiv x+y-z-3=0$, el vector normal es $\vec{n}_\pi = (1, 1, -1)$. - De la recta $r \equiv \frac{x-0}{3} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-(-1)}{2}$, el vector director es $\vec{d}_r = (3, -1, 2)$ y un punto de la recta es $P_r(0, 1, -1)$. Dos elementos no se cortan si son paralelos (y la recta no está contenida en el plano). Comprobamos si son paralelos mediante el producto escalar de sus vectores: $$\vec{n}_\pi \cdot \vec{d}_r = (1)(3) + (1)(-1) + (-1)(2) = 3 - 1 - 2 = 0$$ Como el producto escalar es cero, los vectores son perpendiculares entre sí, lo que significa que la recta es **paralela al plano o está contenida en él**. 💡 **Tip:** Si $\vec{n}_\pi \cdot \vec{d}_r = 0$, la recta y el plano son paralelos. Si fuera distinto de cero, se cortarían en un punto.

Para confirmar que no se cortan (paralelismo estricto), comprobamos si el punto $P_r(0, 1, -1)$ pertenece al plano $\pi$ sustituyendo sus coordenadas en la ecuación $x+y-z=3$: $$0 + 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$$ Como $2 \neq 3$, el punto $P_r$ no pertenece al plano $\pi$. Al ser el vector director de la recta perpendicular al normal del plano y no tener puntos en común, concluimos que la recta y el plano son **paralelos estrictos**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ no se cortan}}$$

**b) Calcular la distancia entre el plano $\pi$ y la recta $r$ del apartado anterior.** Dado que la recta y el plano son paralelos, la distancia de la recta al plano es igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano: $$d(r, \pi) = d(P_r, \pi)$$ Usamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos $P_r(0, 1, -1)$ y el plano $x+y-z-3=0$: $$d(r, \pi) = \frac{|1(0) + 1(1) - 1(-1) - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|0 + 1 + 1 - 3|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{|-1|}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, \pi) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia siempre se mide en perpendicular. Si la recta y el plano se cortaran, la distancia sería cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \pi) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577}$$

**c) Obtener la ecuación del plano perpendicular a la recta $r$ y que pase por el punto $(0,1,-1)$.** Si el nuevo plano (llamémoslo $\pi'$) es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{d}_r$ será el **vector normal** del plano $\pi'$: $$\vec{n}_{\pi'} = \vec{d}_r = (3, -1, 2)$$ La ecuación general de un plano es $Ax+By+Cz+D=0$. Sustituyendo las componentes del vector normal: $$3x - y + 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, obligamos a que el plano pase por el punto $Q(0, 1, -1)$: $$3(0) - (1) + 2(-1) + D = 0 \implies 0 - 1 - 2 + D = 0 \implies D = 3$$ La ecuación del plano es: $$3x - y + 2z + 3 = 0$$ 💡 **Tip:** Cuando un plano es perpendicular a una recta, el vector director de la recta sirve directamente como vector normal del plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{3x - y + 2z + 3 = 0}$$