Cálculo de integral racional y área bajo una curva

**a) [1,25 puntos] Calcular $\int \frac{f(x)}{g(x)} dx$** Sustituimos las funciones en la integral: $$\int \frac{2}{x^3+x^2-2x} dx$$ Se trata de una integral racional. El primer paso es factorizar el denominador $g(x) = x^3+x^2-2x$. Sacamos factor común $x$: $$x^3+x^2-2x = x(x^2+x-2)$$ Ahora resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2+x-2=0$ para encontrar las raíces restantes: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Las raíces son $x_1 = 1$ y $x_2 = -2$. Por tanto, el denominador factorizado es: $$g(x) = x(x-1)(x+2)$$ 💡 **Tip:** Antes de aplicar fracciones simples, asegúrate siempre de que el grado del numerador sea menor que el del denominador. En este caso, $0 < 3$, por lo que podemos proceder directamente.

Planteamos la descomposición de la fracción en suma de fracciones simples con raíces reales distintas: $$\frac{2}{x(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+2}$$ Multiplicamos por el denominador común para obtener la identidad: $$2 = A(x-1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x-1)$$ Calculamos los coeficientes dando valores a $x$ (usando las raíces): - Si $x = 0$: $2 = A(-1)(2) \implies 2 = -2A \implies \mathbf{A = -1}$ - Si $x = 1$: $2 = B(1)(3) \implies 2 = 3B \implies \mathbf{B = \frac{2}{3}}$ - Si $x = -2$: $2 = C(-2)(-3) \implies 2 = 6C \implies \mathbf{C = \frac{1}{3}}$ 💡 **Tip:** Dar valores estratégicos (las raíces) es el método más rápido para anular términos y despejar las constantes.

Sustituimos los valores de $A, B$ y $C$ en la integral original: $$\int \left( \frac{-1}{x} + \frac{2/3}{x-1} + \frac{1/3}{x+2} \right) dx$$ Aplicamos la linealidad de la integral y resolvemos cada término (todos son logaritmos neperianos): $$I = - \int \frac{1}{x} dx + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x-1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+2} dx$$ $$I = -\ln|x| + \frac{2}{3}\ln|x-1| + \frac{1}{3}\ln|x+2| + K$$ Podemos dejarlo expresado así o agruparlo usando propiedades de logaritmos, aunque esta forma ya es correcta. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{f(x)}{g(x)} dx = -\ln|x| + \frac{2}{3}\ln|x-1| + \frac{1}{3}\ln|x+2| + K}$$

**b) [1,25 puntos] Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de $g(x)$ y el eje $X$.** Para calcular el área, primero buscamos los puntos de corte de $g(x) = x^3+x^2-2x$ con el eje $X$ (haciendo $g(x)=0$): $$x^3+x^2-2x = 0 \implies x(x^2+x-2) = 0$$ Como vimos en el apartado anterior, las soluciones son: $$x = -2, \quad x = 0, \quad x = 1$$ Estos puntos dividen el eje $X$ en dos intervalos de integración: $[-2, 0]$ y $[0, 1]$. 💡 **Tip:** El área total es la suma de los valores absolutos de las integrales definidas en cada intervalo para evitar que las áreas positivas y negativas se cancelen.

Necesitamos la primitiva de $g(x)$: $$G(x) = \int (x^3+x^2-2x) dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2$$ Calculamos la integral definida en cada recinto aplicando la Regla de Barrow: **Recinto 1: $[-2, 0]$** $$\int_{-2}^{0} (x^3+x^2-2x) dx = [G(x)]_{-2}^{0} = G(0) - G(-2)$$ $$G(0) = 0$$ $$G(-2) = \frac{(-2)^4}{4} + \frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 = \frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4 = 4 - \frac{8}{3} - 4 = -\frac{8}{3}$$ $$\text{Integral}_1 = 0 - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3}$$ **Recinto 2: $[0, 1]$** $$\int_{0}^{1} (x^3+x^2-2x) dx = [G(x)]_{0}^{1} = G(1) - G(0)$$ $$G(1) = \frac{1^4}{4} + \frac{1^3}{3} - 1^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 = \frac{3+4-12}{12} = -\frac{5}{12}$$ $$\text{Integral}_2 = -\frac{5}{12} - 0 = -\frac{5}{12}$$ 💡 **Tip:** Si el resultado de una integral definida es negativo, significa que en ese intervalo la función está por debajo del eje $X$. Para el área usaremos su valor absoluto.

Sumamos los valores absolutos de los resultados obtenidos: $$\text{Área} = |\text{Integral}_1| + |\text{Integral}_2| = \left| \frac{8}{3} \right| + \left| -\frac{5}{12} \right|$$ $$\text{Área} = \frac{8}{3} + \frac{5}{12}$$ Para sumar, ponemos común denominador (12): $$\text{Área} = \frac{32}{12} + \frac{5}{12} = \frac{37}{12}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{37}{12} \approx 3,083 \text{ u}^2}$$ Representamos gráficamente la función y el área calculada: "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "g", "latex": "g(x)=x^3+x^2-2x", "color": "#2563eb" }, { "id": "area1", "latex": "0 \\le y \\le g(x) \\{-2 \\le x \\le 0\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "area2", "latex": "g(x) \\le y \\le 0 \\{0 \\le x \\le 1\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -3, "right": 2, "bottom": -2, "top": 3 } } }