Estudio de una función exponencial: Extremos, curvatura y tangente

**a) Determina los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.** Para estudiar la monotonía y los extremos relativos, calculamos la primera derivada de la función $f(x) = (x-1)e^{-x}$ utilizando la regla del producto: $$f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x-1) \cdot e^{-x} \cdot (-1)$$ $$f'(x) = e^{-x} - (x-1)e^{-x} = e^{-x}(1 - x + 1) = (2-x)e^{-x}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$(2-x)e^{-x} = 0$$ Como la función exponencial $e^{-x}$ nunca es cero ($e^{-x} \gt 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$), la única solución es: $$2-x = 0 \implies x = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar un producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ y para la cadena $(e^{g(x)})' = g'(x)e^{g(x)}$. $$\boxed{f'(x) = (2-x)e^{-x}}$$

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico $x=2$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline 2-x & + & 0 & -\\ e^{-x} & + & + & +\\ \hline f'(x) & + & 0 & -\\ f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 2)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f(x)$ es **creciente**. - En $(2, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f(x)$ es **decreciente**. Al haber un cambio de crecimiento a decrecimiento en $x=2$, existe un **máximo relativo**. Calculamos su ordenada: $$f(2) = (2-1)e^{-2} = 1 \cdot e^{-2} = \frac{1}{e^2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, 2); \text{ Decreciente: } (2, +\infty); \text{ Máximo: } \left(2, \frac{1}{e^2}\right)}$$

**b) Determina la curvatura (concavidad y convexidad) y puntos de inflexión de $f(x)$.** Para estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada a partir de $f'(x) = (2-x)e^{-x}$: $$f''(x) = (-1)e^{-x} + (2-x)e^{-x}(-1)$$ $$f''(x) = -e^{-x} - (2-x)e^{-x} = e^{-x}(-1 - 2 + x) = (x-3)e^{-x}$$ Igualamos a cero para encontrar posibles puntos de inflexión: $$(x-3)e^{-x} = 0 \implies x-3 = 0 \implies x = 3$$ 💡 **Tip:** Los puntos de inflexión ocurren donde $f''(x)=0$ y existe un cambio de signo en la segunda derivada. $$\boxed{f''(x) = (x-3)e^{-x}}$$

Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos definidos por $x=3$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 3) & 3 & (3, +\infty)\\ \hline x-3 & - & 0 & +\\ e^{-x} & + & + & +\\ \hline f''(x) & - & 0 & +\\ f(x) & \cap \text{ (Conv)} & \text{P.I.} & \cup \text{ (Conc)} \end{array}$$ - En $(-\infty, 3)$, $f''(x) \lt 0$, la función es **convexa** (o cóncava hacia abajo $\cap$). - En $(3, +\infty)$, $f''(x) \gt 0$, la función es **cóncava** (o cóncava hacia arriba $\cup$). En $x=3$ hay un cambio de curvatura, por lo que es un **punto de inflexión**. Calculamos su ordenada: $$f(3) = (3-1)e^{-3} = 2e^{-3} = \frac{2}{e^3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Convexa: } (-\infty, 3); \text{ Cóncava: } (3, +\infty); \text{ P. Inflexión: } \left(3, \frac{2}{e^3}\right)}$$

**c) Calcula la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ para $x=1$.** La ecuación de la recta tangente en $x=a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ 1. Calculamos el valor de la función en $a=1$: $$f(1) = (1-1)e^{-1} = 0 \cdot e^{-1} = 0$$ El punto de tangencia es $(1, 0)$. 2. Calculamos la pendiente ($m = f'(1)$) usando $f'(x) = (2-x)e^{-x}$: $$f'(1) = (2-1)e^{-1} = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$$ 3. Sustituimos en la fórmula: $$y - 0 = \frac{1}{e}(x - 1)$$ $$y = \frac{1}{e}x - \frac{1}{e}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada en el punto dado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = \frac{1}{e}x - \frac{1}{e}}$$