Matrices con parámetros: potencias, invertibilidad e inversa

**a) 1 punto. Calcular el valor de $m$ para que se verifique la igualdad $A^2 -A=B$.** Primero, calculamos la matriz $A^2$ multiplicando $A$ por sí misma: $$A^2 = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 0 & -m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m & 1 \\ 0 & -m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m \cdot m + 1 \cdot 0 & m \cdot 1 + 1 \cdot (-m) \\ 0 \cdot m + (-m) \cdot 0 & 0 \cdot 1 + (-m) \cdot (-m) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m^2 & 0 \\ 0 & m^2 \end{pmatrix}$$ Ahora restamos la matriz $A$ para obtener el lado izquierdo de la igualdad: $$A^2 - A = \begin{pmatrix} m^2 & 0 \\ 0 & m^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} m & 1 \\ 0 & -m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m^2 - m & -1 \\ 0 & m^2 + m \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices se hace fila por columna. En este caso particular, al ser $A$ una matriz con una estructura específica, $A^2$ resulta ser una matriz escalar.

Igualamos el resultado obtenido a la matriz $B$ proporcionada: $$\begin{pmatrix} m^2 - m & -1 \\ 0 & m^2 + m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, deben serlo todos sus elementos correspondientes. Esto genera el siguiente sistema de ecuaciones: 1. $m^2 - m = 0 \implies m(m - 1) = 0 \implies m = 0$ o $m = 1$. 2. $-1 = -1$ (se cumple siempre). 3. $0 = 0$ (se cumple siempre). 4. $m^2 + m = 2 \implies m^2 + m - 2 = 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado $m^2 + m - 2 = 0$: $$m = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies m = 1, m = -2$$ Para que se verifiquen todas las condiciones simultáneamente, $m$ debe ser la solución común a ambas ecuaciones: - De (1): $m \in \{0, 1\}$ - De (4): $m \in \{1, -2\}$ Por tanto, el único valor que satisface la igualdad matricial es $m = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 1}$$

**b) 0,75 puntos. Calcular $m$ para que la matriz $A+B-I$ tenga inversa siendo $I$ la matriz unidad de orden 2.** Primero obtenemos la matriz resultante de la operación $M = A + B - I$: $$M = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 0 & -m \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$M = \begin{pmatrix} m + 0 - 1 & 1 - 1 - 0 \\ 0 + 0 - 0 & -m + 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m - 1 & 0 \\ 0 & 1 - m \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La matriz identidad $I$ de orden 2 es $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($\det(M) \neq 0$). Calculamos el determinante de $M$: $$\det(M) = \begin{vmatrix} m - 1 & 0 \\ 0 & 1 - m \end{vmatrix} = (m - 1)(1 - m) - (0 \cdot 0) = -(m - 1)^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-(m - 1)^2 = 0 \implies m - 1 = 0 \implies m = 1$$ Por lo tanto, la matriz tendrá inversa para cualquier valor de $m$ excepto $m = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m \in \mathbb{R} \setminus \{1\} \text{ o bien } m \neq 1}$$

**c) 0,75 puntos. Para $m=2$ obtener la inversa de la matriz $A+B-I$.** Sustituimos $m = 2$ en la matriz $M$ calculada en el apartado anterior: $$M = \begin{pmatrix} 2 - 1 & 0 \\ 0 & 1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$\det(M) = (1)(-1) - (0)(0) = -1$$ Como es una matriz diagonal, su inversa es directa (o podemos usar el método de la adjunta): 1. Matriz de cofactores: $\text{Cof}(M) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 2. Adjunta (traspuesta de cofactores): $\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 3. Inversa: $M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \text{Adj}(M)$ $$M^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Si una matriz es diagonal, su inversa es otra matriz diagonal donde cada elemento de la diagonal es el recíproco del original (siempre que no sean cero). ✅ **Resultado:** $$\boxed{(A+B-I)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}$$