Discusión y resolución de un sistema lineal con parámetros

**a) [1,5 puntos] Discutir el sistema en función del parámetro $k$.** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & k & 1 \\ 2 & -1 & -k \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & k & 1 & 2+k \\ 2 & -1 & -k & 1-k \\ 1 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo (3): $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & k & 1 \\ 2 & -1 & -k \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = [ (1)(-1)(-1) + (k)(-k)(1) + (1)(2)(-1) ] - [ (1)(-1)(1) + (k)(2)(-1) + (1)(-k)(-1) ]$$ $$|A| = [ 1 - k^2 - 2 ] - [ -1 - 2k + k ] = -k^2 - 1 - (-1 - k) = -k^2 - 1 + 1 + k$$ $$\boxed{|A| = -k^2 + k}$$ Igualamos a cero para hallar los valores críticos: $$-k^2 + k = 0 \implies k(-k + 1) = 0 \implies k = 0, \quad k = 1.$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica si el sistema tiene solución única o no según el Teorema de Rouché-Frobenius.

Si $k \neq 0$ y $k \neq 1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es $\text{rg}(A) = 3$. Como el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 y el número de incógnitas es también 3: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n^{\circ} \text{ incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una única solución. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } k \neq 0, 1: \text{ Sistema Compatible Determinado}}$$

Para $k = 0$, la matriz de coeficientes es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora analizamos el rango de $A^*$ con $k = 0$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right)$$ Comprobamos el determinante de la matriz formada por la 1ª, 2ª y 4ª columna: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = [1+0-4] - [-2-1+0] = -3 - (-3) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero, $\text{rg}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)** (infinitas soluciones). ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } k = 0: \text{ Sistema Compatible Indeterminado}}$$

Para $k = 1$, la matriz de coeficientes es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 2 = -3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora analizamos $A^*$ para $k = 1$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right)$$ Comprobamos el determinante con la columna de términos independientes (columnas 1, 2 y 4): $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = [1+0-6] - [-3+0-2] = -5 - (-5) = 0$$ De nuevo, $\text{rg}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resumen discusión:** $$\boxed{\begin{cases} k \neq 0, 1 \implies \text{SCD} \\ k = 0 \implies \text{SCI} \\ k = 1 \implies \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) [1 punto] Resolver para el caso $k=1$.** Como hemos visto que para $k=1$ el sistema es SCI con rango 2, podemos prescindir de una ecuación (por ejemplo, la tercera, que es combinación de las otras) y tratar una incógnita como parámetro. El sistema reducido queda: $$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y - z = 0 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar $y$ y $z$: $$(x + y + z) + (2x - y - z) = 3 + 0 \implies 3x = 3 \implies \mathbf{x = 1}$$ Sustituimos $x = 1$ en la primera ecuación: $$1 + y + z = 3 \implies y + z = 2 \implies \mathbf{y = 2 - z}$$ Llamamos al parámetro $z = \lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$. 💡 **Tip:** En un SCI, el número de parámetros libres es igual a $n - \text{rg}$, en este caso $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$