Distribución Binomial y Probabilidad de Sucesos

**a) Calcula la probabilidad de que estuvieran viendo el programa más de 8 personas. (0,75 puntos)** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ como el número de personas que ven el programa "La Revuelta" de un total de $n=10$ personas elegidas al azar. Dado que cada persona tiene una probabilidad individual de ver el programa de $p = 0,30$ (y por tanto $q = 1 - 0,30 = 0,70$ de no verlo) y las llamadas son independientes, la variable $X$ sigue una **distribución binomial**: $$X \sim B(10, \, 0,3)$$ La fórmula para calcular la probabilidad de que $k$ personas vean el programa es: $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar una Binomial, los ensayos deben ser independientes y la probabilidad de éxito $p$ debe ser constante en cada uno de ellos.

Nos piden la probabilidad de que vean el programa más de 8 personas, es decir, $P(X \gt 8)$. Esto incluye los casos en los que lo ven exactamente 9 o exactamente 10 personas: $$P(X \gt 8) = P(X=9) + P(X=10)$$ Calculamos cada una por separado: - Para $k=9$: $$P(X=9) = \binom{10}{9} (0,3)^9 (0,7)^1 = 10 \cdot 0,000019683 \cdot 0,7 = 0,000137781$$ - Para $k=10$: $$P(X=10) = \binom{10}{10} (0,3)^{10} (0,7)^0 = 1 \cdot 0,0000059049 \cdot 1 = 0,0000059049$$ Sumamos ambos resultados: $$P(X \gt 8) = 0,000137781 + 0,0000059049 = 0,0001436859$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 8) \approx 0,0001437}$$ 💡 **Tip:** El número combinatorio $\binom{n}{k}$ se calcula como $\frac{n!}{k!(n-k)!}$. En este caso, $\binom{10}{9}=10$ y $\binom{10}{10}=1$.

**b) Calcula la probabilidad de que estuvieran viendo el programa alguna de las 10 personas. (0,75 puntos)** La expresión "alguna de las 10 personas" significa que al menos una persona ve el programa, es decir, $P(X \ge 1)$. Calcular $P(X=1) + P(X=2) + \dots + P(X=10)$ es laborioso. Es mucho más eficiente utilizar el **suceso contrario**: el contrario de "al menos uno" es "ninguno" ($X=0$). $$P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)$$ Calculamos $P(X=0)$: $$P(X=0) = \binom{10}{0} (0,3)^0 (0,7)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0,7)^{10}$$ $$P(X=0) \approx 0,0282475$$ Restamos de la unidad: $$P(X \ge 1) = 1 - 0,0282475 = 0,9717525$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 1) \approx 0,9718}$$ 💡 **Tip:** En probabilidad, la frase "alguna", "al menos una" o "como mínimo una" es una señal clara para utilizar la propiedad del complementario $1 - P(\text{ninguna})$.

**c) Se sabe que, en la misma población, el 35% ve el programa “El Hormiguero” y se sabe también que el 40% no ve ninguno de los dos. Si se elige una persona al azar ¿Cuál es la probabilidad de que vea los dos programas? (1 punto)** Definimos los sucesos: - $R$: "Ver La Revuelta". Sabemos que $P(R) = 0,30$. - $H$: "Ver El Hormiguero". Sabemos que $P(H) = 0,35$. - $\bar{R} \cap \bar{H}$: "No ver ninguno de los dos". Sabemos que $P(\bar{R} \cap \bar{H}) = 0,40$. Organizamos la información en una **tabla de contingencia** (usando probabilidades sobre 1): $$\begin{array}{c|cc|c} & H & \bar{H} & \text{Total} \\\hline R & P(R \cap H) & P(R \cap \bar{H}) & 0,30 \\ \bar{R} & P(\bar{R} \cap H) & 0,40 & 0,70 \\\hline \text{Total} & 0,35 & 0,65 & 1,00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** El total de la fila $\bar{R}$ se obtiene como $1 - P(R) = 1 - 0,30 = 0,70$.

Para hallar $P(R \cap H)$, podemos usar las leyes de De Morgan o completar la tabla. **Método 1 (Tabla):** En la fila de $\bar{R}$: $$P(\bar{R} \cap H) = 0,70 - 0,40 = 0,30$$ Ahora, en la columna de $H$: $$P(R \cap H) = 0,35 - P(\bar{R} \cap H) = 0,35 - 0,30 = 0,05$$ **Método 2 (Fórmulas):** Por las leyes de De Morgan, $P(\bar{R} \cap \bar{H}) = P(\overline{R \cup H}) = 0,40$. Por tanto, la unión es: $$P(R \cup H) = 1 - 0,40 = 0,60$$ Usando la fórmula de la unión: $$P(R \cup H) = P(R) + P(H) - P(R \cap H)$$ $$0,60 = 0,30 + 0,35 - P(R \cap H)$$ $$P(R \cap H) = 0,65 - 0,60 = 0,05$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R \cap H) = 0,05}$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan son fundamentales: $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B})$.