Geometría: Rectas, planos y distancias

**a) Obtener la ecuación del plano perpendicular a la recta $s$ que pase por $P$.** Primero, extraemos el vector director de la recta $s$ y un punto perteneciente a ella a partir de su ecuación continua: $$s \equiv \frac{x}{-4} = \frac{y-1}{3} = \frac{z+1}{0}$$ - El vector director es $\vec{v}_s = (-4, 3, 0)$. - Un punto de la recta es $Q(0, 1, -1)$. Para que un plano sea perpendicular a una recta, el vector director de dicha recta, $\vec{v}_s$, debe ser el **vector normal** del plano ($\vec{n}_\alpha$). $$\vec{n}_\alpha = \vec{v}_s = (-4, 3, 0)$$ 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a una recta, su vector normal coincide con el vector director de la recta.

La ecuación general de un plano con vector normal $\vec{n}_\alpha = (A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituyendo las componentes de nuestro vector: $$-4x + 3y + 0z + D = 0 \implies -4x + 3y + D = 0$$ Para hallar $D$, obligamos a que el plano pase por el punto $P(1, -1, 0)$: $$-4(1) + 3(-1) + D = 0$$ $$-4 - 3 + D = 0 \implies D = 7$$ La ecuación del plano es $-4x + 3y + 7 = 0$. Multiplicando por $-1$ para simplificar: ✅ **Resultado:** $$\boxed{4x - 3y - 7 = 0}$$

**b) Calcular la distancia del punto $P$ a la recta $s$.** Utilizaremos la fórmula basada en el producto vectorial. Si $Q$ es un punto de la recta $s$ y $\vec{v}_s$ su vector director, la distancia de $P$ a $s$ es: $$d(P, s) = \frac{|\vec{v}_s \times \vec{QP}|}{|\vec{v}_s|}$$ Ya tenemos $Q(0, 1, -1)$ y $P(1, -1, 0)$. Calculamos el vector $\vec{QP}$: $$\vec{QP} = P - Q = (1-0, -1-1, 0-(-1)) = (1, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** La distancia de un punto a una recta representa la altura del paralelogramo formado por el vector director y el vector que une el punto con la recta, dividida por la base (el módulo del vector director).

Calculamos el producto vectorial $\vec{v}_s \times \vec{QP}$ mediante el determinante: $$\vec{v}_s \times \vec{QP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{v}_s \times \vec{QP} = (3 \cdot 1 - 0 \cdot (-2))\mathbf{i} - ((-4) \cdot 1 - 0 \cdot 1)\mathbf{j} + ((-4)(-2) - 3 \cdot 1)\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_s \times \vec{QP} = 3\mathbf{i} - (-4)\mathbf{j} + (8 - 3)\mathbf{k} = (3, 4, 5)$$ Ahora calculamos los módulos: - $|\vec{v}_s \times \vec{QP}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ - $|\vec{v}_s| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(P, s) = \frac{5\sqrt{2}}{5} = \sqrt{2} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, s) = \sqrt{2} \approx 1,414 \text{ u}}$$

**c) Calcular el ángulo que forma la recta $s$ con el plano $\pi$.** El ángulo $\alpha$ que forman una recta con vector director $\vec{v}_s$ y un plano con vector normal $\vec{n}_\pi$ se calcula mediante el seno (debido a que el ángulo entre los vectores es el complementario del ángulo buscado): $$\sin \alpha = \frac{|\vec{v}_s \cdot \vec{n}_\pi|}{|\vec{v}_s| \cdot |\vec{n}_\pi|}$$ Datos: - $\vec{v}_s = (-4, 3, 0)$ - $\pi \equiv x - 2y + 3z - 6 = 0 \implies \vec{n}_\pi = (1, -2, 3)$ 💡 **Tip:** Recuerda que para el ángulo entre dos rectas o dos planos se usa el coseno, pero para el ángulo entre **recta y plano** se usa el **seno**.

Calculamos el producto escalar y los módulos: - $|\vec{v}_s \cdot \vec{n}_\pi| = |(-4)(1) + (3)(-2) + (0)(3)| = |-4 - 6 + 0| = |-10| = 10$ - $|\vec{v}_s| = 5$ (calculado anteriormente) - $|\vec{n}_\pi| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ Sustituimos: $$\sin \alpha = \frac{10}{5 \cdot \sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{14}}$$ Calculamos el arcoseno: $$\alpha = \arcsin \left( \frac{2}{\sqrt{14}} \right) \approx 32,31^\circ$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha \approx 32,31^\circ}$$