Geometría en el espacio: alineación, producto vectorial y simetría

**a) 0,75 puntos. ¿Están $A, B$ y $C$ alineados?** Tres puntos $A, B$ y $C$ están alineados si los vectores formados por ellos son proporcionales, es decir, si tienen la misma dirección. Calculamos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (2-1, 3-2, 4-3) = (1, 1, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (3-1, 4-2, 3-3) = (2, 2, 0)$$ Comprobamos si sus coordenadas son proporcionales: $$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{1}{0}$$ Como la tercera componente no mantiene la proporción (o bien, un vector tiene componente $z$ nula y el otro no), los vectores no son proporcionales. 💡 **Tip:** Para que tres puntos estén alineados, el rango de la matriz formada por los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ debe ser 1. Aquí el rango es 2. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los puntos } A, B ext{ y } C ext{ no están alineados.}}$$

**b) 1 punto. Halla un vector que sea ortogonal a $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$, y de módulo $\sqrt{2}$.** Un vector ortogonal a otros dos se obtiene mediante el producto vectorial. Calculamos $\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ utilizando el determinante: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{w} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{w} = (0 - 2)\vec{i} - (0 - 2)\vec{j} + (2 - 2)\vec{k} = -2\vec{i} + 2\vec{j} + 0\vec{k}$$ $$\vec{w} = (-2, 2, 0)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ siempre genera un vector perpendicular a ambos vectores originales. $$\boxed{\vec{w} = (-2, 2, 0)}$$

Ahora debemos conseguir que el vector tenga módulo $\sqrt{2}$. Primero calculamos el módulo de $\vec{w}$: $$|\vec{w}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ Buscamos un vector $\vec{v}$ tal que $\vec{v} = k \cdot \vec{w}$ y $|\vec{v}| = \sqrt{2}$. El factor de escala será: $$k = \frac{\text{módulo deseado}}{\text{módulo actual}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$ Multiplicamos $\vec{w}$ por $k$: $$\vec{v} = \frac{1}{2} (-2, 2, 0) = (-1, 1, 0)$$ (También sería válido el vector opuesto $(1, -1, 0)$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{v} = (-1, 1, 0)}$$

**c) 0,75 puntos. Halla el punto simétrico del punto $A$ respecto del punto $B$.** Si $A'$ es el simétrico de $A$ respecto de $B$, entonces $B$ es el **punto medio** del segmento $AA'$. Sea $A' = (x, y, z)$. Aplicamos la definición de punto medio paso a paso: $$\vec{AB} = \vec{BA'}$$ $$(2-1, 3-2, 4-3) = (x-2, y-3, z-4)$$ $$(1, 1, 1) = (x-2, y-3, z-4)$$ Igualamos componente a componente: 1. $1 = x - 2 \implies x = 3$ 2. $1 = y - 3 \implies y = 4$ 3. $1 = z - 4 \implies z = 5$ 💡 **Tip:** Conceptualmente, para llegar al simétrico, "sumas" al punto $B$ el mismo desplazamiento que hubo de $A$ a $B$. Es decir, $A' = B + \vec{AB}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A' = (3, 4, 5)}$$