Integral racional y cálculo de áreas

**a) Calcula la primitiva de $\frac{g(x)}{f(x)}$ que pase por el punto $(5,0)$.** Primero, debemos calcular la integral indefinida $I = \int \frac{x+3}{x^2-4x+3} \, dx$. Como el grado del numerador es menor que el del denominador, procedemos a descomponer en fracciones simples. Factorizamos el denominador $f(x) = x^2-4x+3$ resolviendo la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \implies x_1 = 1, x_2 = 3.$$ Por tanto, $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$. Planteamos la descomposición: $$\frac{x+3}{(x-1)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-3}$$ $$x+3 = A(x-3) + B(x-1)$$ Calculamos los coeficientes $A$ y $B$ dando valores a $x$: - Si $x=1 \implies 4 = A(1-3) \implies 4 = -2A \implies A = -2$ - Si $x=3 \implies 6 = B(3-1) \implies 6 = 2B \implies B = 3$ 💡 **Tip:** Para descomponer fracciones con raíces reales simples, busca los valores que anulan cada factor del denominador para hallar los coeficientes rápidamente.

Sustituimos los valores de $A$ y $B$ en la integral: $$I = \int \left( \frac{-2}{x-1} + \frac{3}{x-3} \right) dx = -2 \int \frac{1}{x-1} dx + 3 \int \frac{1}{x-3} dx$$ $$I = -2 \ln|x-1| + 3 \ln|x-3| + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x-a} dx = \ln|x-a| + C$.

Buscamos la primitiva $G(x)$ que pasa por $(5,0)$, es decir, tal que $G(5) = 0$: $$G(5) = -2 \ln|5-1| + 3 \ln|5-3| + C = 0$$ $$-2 \ln(4) + 3 \ln(2) + C = 0$$ Como $\ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)$: $$-2(2\ln 2) + 3\ln 2 + C = 0$$ $$-4\ln 2 + 3\ln 2 + C = 0 \implies -\ln 2 + C = 0 \implies C = \ln 2$$ La primitiva buscada es: $$G(x) = -2\ln|x-1| + 3\ln|x-3| + \ln 2$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{G(x) = \ln \left| \frac{2(x-3)^3}{(x-1)^2} \right|}$$

**b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$.** Para hallar los límites de integración, igualamos ambas funciones: $$f(x) = g(x) \implies x^2-4x+3 = x+3$$ $$x^2 - 5x = 0 \implies x(x-5) = 0$$ Los puntos de corte son $x=0$ y $x=5$. 💡 **Tip:** Al calcular áreas entre curvas, los límites de integración son los valores de $x$ donde las gráficas se cruzan.

Debemos determinar cuál de las funciones está por encima en el intervalo $(0,5)$. Evaluamos en $x=1$: - $f(1) = 1^2 - 4(1) + 3 = 0$ - $g(1) = 1 + 3 = 4$ Como $g(1) \gt f(1)$, la función $g(x)$ es la superior. El área es: $$A = \int_{0}^{5} [g(x) - f(x)] \, dx = \int_{0}^{5} (x+3 - (x^2-4x+3)) \, dx$$ $$A = \int_{0}^{5} (-x^2 + 5x) \, dx$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} \right]_{0}^{5}$$ $$A = \left( -\frac{5^3}{3} + \frac{5 \cdot 5^2}{2} \right) - (0) = -\frac{125}{3} + \frac{125}{2}$$ $$A = \frac{-250 + 375}{6} = \frac{125}{6}$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{125}{6} \approx 20,83 \text{ u}^2}$$