Cálculo de parámetros y estudio de funciones racionales

**a) Dada la función $f(x) = \frac{ax^2+b}{x^3}$, calcula los valores de $a$ y $b$ sabiendo que $f(x)$ tiene un máximo relativo en el punto $P(1,2)$.** Para que la función tenga un máximo relativo en el punto $P(1,2)$, deben cumplirse dos condiciones fundamentales: 1. **Pasa por el punto:** La imagen de $x=1$ debe ser $y=2$. Es decir, $f(1) = 2$. 2. **Condición de extremo:** Si hay un máximo relativo en $x=1$, la derivada en ese punto debe ser cero. Es decir, $f'(1) = 0$. Calculamos primero la derivada de $f(x)$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2ax) \cdot x^3 - (ax^2+b) \cdot 3x^2}{(x^3)^2}$$ Simplificamos la expresión: $$f'(x) = \frac{2ax^4 - 3ax^4 - 3bx^2}{x^6} = \frac{-ax^4 - 3bx^2}{x^6}$$ Extrayendo factor común $x^2$ y simplificando: $$f'(x) = \frac{x^2(-ax^2 - 3b)}{x^6} = \frac{-ax^2 - 3b}{x^4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Aplicamos las condiciones anteriores para obtener un sistema de ecuaciones con $a$ y $b$: 1. **De $f(1) = 2$:** $$\frac{a(1)^2 + b}{1^3} = 2 \implies a + b = 2$$ 2. **De $f'(1) = 0$:** $$\frac{-a(1)^2 - 3b}{1^4} = 0 \implies -a - 3b = 0 \implies a = -3b$$ Sustituimos $a = -3b$ en la primera ecuación: $$-3b + b = 2 \implies -2b = 2 \implies b = -1$$ Ahora calculamos $a$: $$a = -3(-1) = 3$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{a = 3, \quad b = -1}$$

**b) Estudia los extremos relativos, el crecimiento y decrecimiento y las asíntotas de la función anterior para el caso particular $a=2, b=-2$.** La función para este caso es $f(x) = \frac{2x^2-2}{x^3}$. El dominio es $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. **Asíntotas Verticales (AV):** Miramos los puntos donde se anula el denominador ($x=0$): $$\lim_{x \to 0} \frac{2x^2-2}{x^3} = \frac{-2}{0} = \infty$$ Por tanto, hay una **asíntota vertical en $x = 0$**. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2-2}{x^3} = 0$$ Al ser el grado del denominador mayor que el del numerador, el límite es $0$. Por tanto, hay una **asíntota horizontal en $y = 0$**. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal en ambos lados, **no hay asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Si el grado del denominador es exactamente una unidad mayor que el del numerador, el límite en el infinito siempre es $0$ ($y=0$). ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x=0, \quad \text{AH: } y=0, \quad \text{AO: No hay}}$$

Para estudiar el crecimiento, derivamos $f(x) = \frac{2x^2-2}{x^3}$: $$f'(x) = \frac{4x \cdot x^3 - (2x^2-2) \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{4x^4 - 6x^4 + 6x^2}{x^6} = \frac{-2x^4 + 6x^2}{x^6} = \frac{-2x^2 + 6}{x^4}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-2x^2 + 6 = 0 \implies 2x^2 = 6 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y el punto de discontinuidad ($x=0$). Nota que $x^4 > 0$ siempre, por lo que el signo depende de $-2x^2 + 6$: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -\sqrt{3}) & -\sqrt{3} & (-\sqrt{3}, 0) & 0 & (0, \sqrt{3}) & \sqrt{3} & (\sqrt{3}, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & + & \nexists & + & 0 & - \\ f(x) & \searrow & \min & \nearrow & \nexists & \nearrow & \max & \searrow \end{array}$$ - **Decrecimiento:** $(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$ - **Crecimiento:** $(-\sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3})$ Calculamos las ordenadas de los extremos: $f(-\sqrt{3}) = \frac{2(3)-2}{(-\sqrt{3})^3} = \frac{4}{-3\sqrt{3}} = -\frac{4\sqrt{3}}{9} \approx -0.77$ $f(\sqrt{3}) = \frac{2(3)-2}{(\sqrt{3})^3} = \frac{4}{3\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{9} \approx 0.77$ ✅ **Resultado (Monotonía y Extremos):** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Creciente: } (-\sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \\ & \text{Decreciente: } (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty) \\ & \text{Máximo relativo en: } \left(\sqrt{3}, \frac{4\sqrt{3}}{9}\right) \\ & \text{Mínimo relativo en: } \left(-\sqrt{3}, -\frac{4\sqrt{3}}{9}\right) \end{aligned}}$$