Inversa de una matriz y ecuación matricial

**a) Obtener la inversa de la matriz $A^T + I$ donde $I$ es la matriz unidad de orden 3.** En primer lugar, hallamos la matriz traspuesta de $A$, denotada por $A^T$, intercambiando sus filas por columnas: $$A^T = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 3 & 5 & 1 \end{bmatrix}$$ Ahora calculamos la suma $M = A^T + I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3: $$M = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 3 & 5 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para sumar matrices, estas deben tener la misma dimensión y se suman elemento a elemento.

Para comprobar si la matriz $M$ tiene inversa, calculamos su determinante $|M|$ mediante la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 5 & 2 \end{vmatrix}$$ $$|M| = (1 \cdot 4 \cdot 2) + (2 \cdot 3 \cdot 3) + (2 \cdot 5 \cdot 1) - [(1 \cdot 4 \cdot 3) + (2 \cdot 2 \cdot 2) + (3 \cdot 5 \cdot 1)]$$ $$|M| = (8 + 18 + 10) - (12 + 8 + 15) = 36 - 35 = 1$$ Como $|M| = 1 \neq 0$, la matriz **$M$ es invertible**. 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$).

Calculamos la matriz inversa utilizando la fórmula: $$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M^T) = \frac{1}{|M|} (\text{Cof}(M))^T$$ Primero, calculamos los adjuntos (o cofactores) de cada elemento $A_{ij}$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 8 - 15 = -7$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -(4 - 9) = 5$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 10 - 12 = -2$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = -(4 - 5) = 1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 3 = -1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = -(5 - 6) = 1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 4 = 2$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 2) = -1$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 4 = 0$ La matriz de adjuntos es: $$\text{Cof}(M) = \begin{bmatrix} -7 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{bmatrix} \implies \text{Adj}(M) = \begin{bmatrix} -7 & 1 & 2 \\ 5 & -1 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ Como $|M| = 1$, la inversa es directamente la matriz adjunta traspuesta: ✅ **Resultado (Inversa):** $$\boxed{(A^T+I)^{-1} = \begin{bmatrix} -7 & 1 & 2 \\ 5 & -1 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}}$$

**b) Resolver la ecuación matricial $A^T X - I = 2 B - X$ ($A^T$ es la matriz traspuesta de $A$).** Primero, agrupamos los términos con la incógnita $X$ en un lado de la igualdad: $$A^T X + X = 2B + I$$ Factorizamos $X$ por la derecha (sacamos factor común): $$(A^T + I) X = 2B + I$$ Observamos que el paréntesis $(A^T + I)$ es la matriz $M$ que ya hemos analizado en el apartado anterior. Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por $M^{-1}$: $$X = (A^T + I)^{-1} (2B + I)$$ 💡 **Tip:** Es fundamental recordar que en álgebra matricial no existe la división y que el orden de la multiplicación importa. Si multiplicamos por la inversa por la izquierda en un lado, debemos hacerlo igual en el otro.

Calculamos primero la matriz del lado derecho, $C = 2B + I$: $$2B + I = 2\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 2 \\ 4 & 2 & -6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & -5 \end{bmatrix}$$ Finalmente, multiplicamos la inversa hallada en el apartado (a) por esta matriz: $$X = \begin{bmatrix} -7 & 1 & 2 \\ 5 & -1 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & -5 \end{bmatrix}$$ Calculamos los elementos fila por columna: - $x_{11} = (-7)(-1) + 1(0) + 2(4) = 7 + 8 = 15$ - $x_{12} = (-7)(0) + 1(-1) + 2(2) = -1 + 4 = 3$ - $x_{13} = (-7)(2) + 1(2) + 2(-5) = -14 + 2 - 10 = -22$ - $x_{21} = 5(-1) + (-1)(0) + (-1)(4) = -5 - 4 = -9$ - $x_{22} = 5(0) + (-1)(-1) + (-1)(2) = 1 - 2 = -1$ - $x_{23} = 5(2) + (-1)(2) + (-1)(-5) = 10 - 2 + 5 = 13$ - $x_{31} = (-2)(-1) + 1(0) + 0(4) = 2$ - $x_{32} = (-2)(0) + 1(-1) + 0(2) = -1$ - $x_{33} = (-2)(2) + 1(2) + 0(-5) = -4 + 2 = -2$ ✅ **Resultado (Matriz X):** $$\boxed{X = \begin{bmatrix} 15 & 3 & -22 \\ -9 & -1 & 13 \\ 2 & -1 & -2 \end{bmatrix}}$$