Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Discutir el sistema en función del parámetro $m$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} m & 7 & 5 \\ 1 & m & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} m & 7 & 5 & 0 \\ 1 & m & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos permite discutir el sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes $A$ con el de la matriz ampliada $A^*$.

Para hallar los valores de $m$ que hacen cambiar el rango de $A$, calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} m & 7 & 5 \\ 1 & m & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (m \cdot m \cdot 1) + (7 \cdot 1 \cdot 0) + (1 \cdot 1 \cdot 5) - (0 \cdot m \cdot 5) - (1 \cdot 1 \cdot m) - (1 \cdot 1 \cdot 7)$$ $$|A| = m^2 + 0 + 5 - 0 - m - 7 = m^2 - m - 2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$m^2 - m - 2 = 0 \implies m = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Esto nos da los valores: **$m = 2$** y **$m = -1$**.

Si $m \neq 2$ y $m \neq -1$, el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de columnas de $A^*$ y contiene a $A$) - $n=3$ (número de incógnitas) Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser los rangos iguales e iguales al número de incógnitas: $$\boxed{\text{Si } m \neq 2, -1, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $m = 2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 7 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$. Tomamos el menor que incluye la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-14+15+0) - (0+21-20) = 1 - 1 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 que podemos formar con la columna de términos independientes en $A^*$ son cero (se puede comprobar también con $\begin{vmatrix} 2 & 7 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 0$), entonces $\text{rango}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$ (incógnitas): $$\boxed{\text{Si } m = 2, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Si $m = -1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 7 & 5 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, buscamos un menor de orden 2 en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Calculamos el rango de $A^*$ tomando un menor de orden 3 con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 7 & 5 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-14 + 15 + 0) - (0 + 21 + 10) = 1 - 31 = -30 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rango}(A^*) = 3$. Al ser $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$: $$\boxed{\text{Si } m = -1, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

**b) Resolverlo para el caso $m=1$.** Sustituimos $m=1$ en el sistema original: $$\begin{cases} x+ 7y+ 5z = 0 \quad (1) \\ x+ y+ z = 3 \quad (2) \\ y+ z = -2 \quad (3) \end{cases}$$ Como $m=1$ no es ni 2 ni -1, sabemos que es un **SCD** (solución única). De la ecuación $(3)$ despejamos $y$: $$y = -2 - z$$ Sustituimos $y$ en la ecuación $(2)$: $$x + (-2 - z) + z = 3 \implies x - 2 = 3 \implies x = 5$$ Ahora usamos $x=5$ y la expresión de $y$ en la ecuación $(1)$: $$5 + 7(-2 - z) + 5z = 0$$ $$5 - 14 - 7z + 5z = 0 \implies -9 - 2z = 0 \implies z = -\frac{9}{2}$$ Finalmente, calculamos $y$: $$y = -2 - \left(-\frac{9}{2}\right) = -2 + \frac{9}{2} = \frac{-4 + 9}{2} = \frac{5}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 5, \quad y = \frac{5}{2}, \quad z = -\frac{9}{2}}$$