Geometría en el espacio: Distancias y planos paralelos

**a) Compruebe que la distancia del punto $P$ al plano $\pi$ es $\frac{\sqrt{6}}{2}$.** Para calcular la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$, utilizamos la fórmula: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Primero escribimos el plano $\pi$ en su forma general: $$\pi: 2x - y + z - 5 = 0$$ Sustituimos las coordenadas del punto $P(0, 1, 3)$ y los coeficientes del plano ($A=2, B=-1, C=1, D=-5$): $$d(P, \pi) = \frac{|2(0) - (1) + (3) - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|0 - 1 + 3 - 5|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|-3|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}}$$ Racionalizamos multiplicando numerador y denominador por $\sqrt{6}$: $$d(P, \pi) = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar esta fórmula, el plano debe estar igualado a cero (forma general). ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, \pi) = \frac{\sqrt{6}}{2}}$$

**b) Calcule la ecuación general de un plano $\pi_1$ paralelo a $\pi$ y que pase por el punto $P$. ¿Cuál es la distancia entre $\pi_1$ y $\pi$?** Dos planos son paralelos si tienen el mismo vector normal (o proporcional). El vector normal de $\pi$ es $\vec{n} = (2, -1, 1)$. Por tanto, el plano $\pi_1$ tendrá la forma: $$\pi_1: 2x - y + z + D_1 = 0$$ Como sabemos que el punto $P(0, 1, 3)$ pertenece a $\pi_1$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D_1$: $$2(0) - (1) + (3) + D_1 = 0 \implies -1 + 3 + D_1 = 0 \implies 2 + D_1 = 0 \implies D_1 = -2$$ La ecuación de $\pi_1$ es: $$\pi_1: 2x - y + z - 2 = 0$$ 💡 **Tip:** Dos planos $Ax+By+Cz+D=0$ y $A'x+B'y+C'z+D'=0$ son paralelos si $(A,B,C) = k(A',B',C')$. ✅ **Resultado (Ecuación π₁):** $$\boxed{\pi_1: 2x - y + z - 2 = 0}$$

Para hallar la distancia entre dos planos paralelos $d(\pi_1, \pi)$, podemos simplemente calcular la distancia de cualquier punto de uno de los planos al otro. Como ya sabemos por el enunciado que $P \in \pi_1$ y hemos calculado en el apartado a) que $d(P, \pi) = \frac{\sqrt{6}}{2}$, entonces: $$d(\pi_1, \pi) = d(P, \pi) = \frac{\sqrt{6}}{2}$$ También podríamos haber usado la fórmula de distancia entre planos paralelos $\frac{|D - D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$: $$d(\pi_1, \pi) = \frac{|-5 - (-2)|}{\sqrt{6}} = \frac{|-3|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$ ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(\pi_1, \pi) = \frac{\sqrt{6}}{2}}$$

**c) Calcule la ecuación general de un segundo plano $\pi_2$, diferente de $\pi_1$, paralelo a $\pi$ y que esté a una distancia $\frac{\sqrt{6}}{2}$ de $\pi$.** Buscamos un plano $\pi_2$ paralelo a $\pi$, cuya ecuación será $2x - y + z + D_2 = 0$. La distancia entre $\pi$ ($2x - y + z - 5 = 0$) y $\pi_2$ debe ser $\frac{\sqrt{6}}{2}$. Utilizamos la fórmula de la distancia entre planos paralelos: $$d(\pi, \pi_2) = \frac{|D - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|-5 - D_2|}{\sqrt{6}}$$ Igualamos a la distancia dada: $$\frac{|-5 - D_2|}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$ Multiplicamos en cruz: $$2|-5 - D_2| = (\sqrt{6})^2 \implies 2|-5 - D_2| = 6 \implies |-5 - D_2| = 3$$ Esto nos da dos posibles soluciones para el valor absoluto: 1) $-5 - D_2 = 3 \implies D_2 = -8$ 2) $-5 - D_2 = -3 \implies D_2 = -2$ El valor $D_2 = -2$ corresponde al plano $\pi_1$ calculado en el apartado anterior. Como el enunciado pide un plano **diferente** de $\pi_1$, elegimos $D_2 = -8$. 💡 **Tip:** Existen siempre dos planos paralelos a uno dado a una distancia fija $d$, uno a cada lado del plano original. ✅ **Resultado (Ecuación π₂):** $$\boxed{\pi_2: 2x - y + z - 8 = 0}$$

A continuación se muestra una representación de la disposición de los tres planos paralelos. El plano $\pi$ se encuentra en el centro, y a ambos lados, a una distancia de $\frac{\sqrt{6}}{2}$, se encuentran $\pi_1$ (que contiene al punto $P$) y $\pi_2$.