Área entre funciones trigonométricas en contexto real

**a) Razone a qué función corresponde cada gráfica y calcule las coordenadas de los puntos $B$ y $C$ señalados en la figura (teniendo en cuenta que $A$ es el origen de coordenadas). [1 punto]** El enunciado indica que el punto $A$ es el origen de coordenadas, es decir, $A(0,0)$. Para identificar qué función corresponde a cada borde del vitral, evaluamos ambas funciones en $x = 0$: 1. Para $f(x) = 3\sin(x/4)$: $$f(0) = 3\sin(0) = 3 \cdot 0 = 0$$ 2. Para $g(x) = 3\cos(x/4)$: $$g(0) = 3\cos(0) = 3 \cdot 1 = 3$$ Como la gráfica que pasa por el origen ($A$) es la que tiene $y=0$ cuando $x=0$, concluimos que: - La **gráfica inferior** (que nace en $A$) corresponde a la función **$y = 3\sin(x/4)$**. - La **gráfica superior** (que nace en $B$) corresponde a la función **$y = 3\cos(x/4)$**. 💡 **Tip:** En funciones trigonométricas simples, recuerda que el seno siempre parte del origen $\sin(0)=0$ (si no hay traslaciones), mientras que el coseno parte de su valor máximo $\cos(0)=1$.

A partir del análisis anterior, determinamos las coordenadas de los puntos: **Punto B:** Es la intersección de la función superior $y = 3\cos(x/4)$ con el eje $Y$ (donde $x=0$). Como hemos calculado antes, $y = 3$. Por tanto: $$\boxed{B(0, 3)}$$ **Punto C:** Es el punto donde ambas funciones se cortan. Para hallarlo, igualamos las expresiones: $$3\sin(x/4) = 3\cos(x/4)$$ Dividimos ambos lados por $3\cos(x/4)$ (sabiendo que en el primer cuadrante no es cero): $$\frac{\sin(x/4)}{\cos(x/4)} = 1 \implies \tan(x/4) = 1$$ El ángulo cuya tangente es $1$ en el primer ciclo es $\pi/4$: $$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{4} \implies x = \pi$$ Calculamos la ordenada sustituyendo en cualquiera de las funciones: $$y = 3\sin(\pi/4) = 3\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ ✅ **Resultado (Coordenadas):** $$\boxed{B(0, 3) \quad \text{y} \quad C\left(\pi, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}$$

**b) Calcule el precio del vitral sabiendo que cuesta 750 €/m$^2$. [1,5 puntos]** El área del vitral es la región comprendida entre la función superior $g(x) = 3\cos(x/4)$ y la función inferior $f(x) = 3\sin(x/4)$, desde $x = 0$ hasta el punto de corte $x = \pi$. La fórmula del área entre dos curvas es: $$S = \int_{a}^{b} [g(x) - f(x)] \, dx$$ Sustituimos nuestros datos: $$S = \int_{0}^{\pi} \left( 3\cos\left(\frac{x}{4}\right) - 3\sin\left(\frac{x}{4}\right) \right) dx$$ 💡 **Tip:** Siempre resta la función que queda por encima menos la que queda por debajo para que el área resulte positiva. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=3\\cos(x/4)", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x)=3\\sin(x/4)", "color": "#ef4444" }, { "id": "reg1", "latex": "3\\sin(x/4) \\le y \\le 3\\cos(x/4) \\{0 \\le x \\le \\pi\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 5, "bottom": -1, "top": 4 } } }

Calculamos la integral indefinida. Recuerda que $\int \cos(ax) dx = \frac{1}{a}\sin(ax)$: $$\int 3\cos\left(\frac{x}{4}\right) dx = 3 \cdot 4 \sin\left(\frac{x}{4}\right) = 12\sin\left(\frac{x}{4}\right)$$ $$\int 3\sin\left(\frac{x}{4}\right) dx = 3 \cdot 4 \left(-\cos\left(\frac{x}{4}\right)\right) = -12\cos\left(\frac{x}{4}\right)$$ Ahora aplicamos la regla de Barrow: $$S = \left[ 12\sin\left(\frac{x}{4}\right) - \left(-12\cos\left(\frac{x}{4}\right)\right) \right]_{0}^{\pi} = \left[ 12\sin\left(\frac{x}{4}\right) + 12\cos\left(\frac{x}{4}\right) \right]_{0}^{\pi}$$ Evaluamos en los límites: $$S = \left( 12\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + 12\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) - \left( 12\sin(0) + 12\cos(0) \right)$$ $$S = \left( 12\frac{\sqrt{2}}{2} + 12\frac{\sqrt{2}}{2} \right) - (0 + 12 \cdot 1)$$ $$S = 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 12 = 12\sqrt{2} - 12 \text{ m}^2$$ Calculamos el valor decimal aproximado: $$S \approx 12(1.4142) - 12 = 16.9705 - 12 = 4.9705 \text{ m}^2$$ $$\boxed{S = 12(\sqrt{2} - 1) \approx 4.97 \text{ m}^2}$$

Para obtener el precio final, multiplicamos el área obtenida por el coste unitario dado ($750$ €/m$^2$): $$\text{Precio} = S \cdot 750$$ $$\text{Precio} = (12\sqrt{2} - 12) \cdot 750$$ $$\text{Precio} = 9000\sqrt{2} - 9000$$ Usando el valor decimal: $$\text{Precio} \approx 4.97056 \cdot 750 = 3727.92 \text{ €}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El precio del vitral es de } 3727.92 \text{ €}}$$