Probabilidad y Estadística 2025 Cataluna
Probabilidad de lesión y optimización de beneficios
Ejercicio 3
La lesión por sesamoiditis (inflamación del hueso sesamoide del pie) es relativamente habitual entre la población que practica deportes de impacto (atletismo, baloncesto, tenis…). En una población de deportistas, se ha realizado un estudio diferenciando entre los que practican deportes de impacto y los que practican deportes sin impacto brusco (como natación, pilates, senderismo…). Se ha podido determinar que el 45 % practican deportes de impacto. Entre ellos, un 10 % padecen lesiones por sesamoiditis, mientras que entre los que no practican deportes de impacto solamente un 3 % presentan esta lesión. Escogemos a un deportista al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que padezca sesamoiditis?
[0,75 puntos]
b) Si el deportista escogido tiene una lesión por sesamoiditis, ¿cuál es la probabilidad de que practique deportes de impacto?
[0,75 puntos]
Una empresa de calzado deportivo ha creado una zapatilla con amortiguación para minimizar las lesiones por sesamoiditis. Los beneficios generados por la venta de este producto, en miles de euros, siguen una función de la forma $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$, donde $x$ son los años transcurridos desde que la zapatilla salió a la venta y $a, b$ y $c$ son constantes reales.
c) Calcule los valores de $a, b$ y $c$ sabiendo que el primer año se alcanzó el máximo de beneficios, por valor de 8 000 euros, y que en el segundo año hubo un punto de inflexión en los beneficios.
[1 punto]
Paso 1
Organización de datos y diagrama de árbol
**a) ¿Cuál es la probabilidad de que padezca sesamoiditis?**
Primero, definimos los sucesos del problema:
- $I$: El deportista practica deportes de impacto.
- $\bar{I}$: El deportista no practica deportes de impacto (deportes sin impacto brusco).
- $S$: El deportista padece sesamoiditis.
- $\bar{S}$: El deportista no padece sesamoiditis.
Extraemos las probabilidades del enunciado:
- $P(I) = 0,45 \implies P(\bar{I}) = 1 - 0,45 = 0,55$
- $P(S|I) = 0,10$
- $P(S|\bar{I}) = 0,03$
Representamos la situación en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para hallar la probabilidad de que un deportista padezca sesamoiditis $P(S)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(S) = P(I) \cdot P(S|I) + P(\bar{I}) \cdot P(S|\bar{I})$$
Sustituyendo los valores:
$$P(S) = (0,45 \cdot 0,10) + (0,55 \cdot 0,03)$$
$$P(S) = 0,045 + 0,0165 = 0,0615$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total consiste en sumar las probabilidades de todas las ramas del árbol que terminan en el suceso deseado (en este caso, padecer la lesión).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(S) = 0,0615}$$
Paso 3
Probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) Si el deportista escogido tiene una lesión por sesamoiditis, ¿cuál es la probabilidad de que practique deportes de impacto?**
Nos piden calcular la probabilidad de que practique deportes de impacto sabiendo que tiene la lesión, es decir, $P(I|S)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(I|S) = \frac{P(I \cap S)}{P(S)} = \frac{P(I) \cdot P(S|I)}{P(S)}$$
Utilizamos el valor de $P(S)$ calculado en el apartado anterior:
$$P(I|S) = \frac{0,45 \cdot 0,10}{0,0615} = \frac{0,045}{0,0615}$$
Realizando la división:
$$P(I|S) = \frac{450}{615} = \frac{30}{41} \approx 0,7317$$
💡 **Tip:** Bayes nos permite "invertir" la condición: pasar de conocer la probabilidad de la lesión dado el deporte, a conocer la del deporte dada la lesión.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(I|S) \approx 0,7317}$$
Paso 4
Planteamiento de las condiciones del beneficio
**c) Calcule los valores de $a, b$ y $c$ sabiendo que el primer año se alcanzó el máximo de beneficios, por valor de 8 000 euros, y que en el segundo año hubo un punto de inflexión en los beneficios.**
La función de beneficios es $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$. Calculamos sus derivadas:
- $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$
- $f''(x) = 6ax + 2b$
Traducción de las condiciones del enunciado (teniendo en cuenta que $f(x)$ está en miles de euros):
1. **Máximo en el primer año ($x=1$)**: La derivada debe ser cero en ese punto.
$$f'(1) = 0 \implies 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 0 \implies 3a + 2b + c = 0$$
2. **Valor del beneficio de 8 000 € en $x=1$**:
$$f(1) = 8 \implies a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) = 8 \implies a + b + c = 8$$
3. **Punto de inflexión en el segundo año ($x=2$)**: La segunda derivada debe ser cero.
$$f''(2) = 0 \implies 6a(2) + 2b = 0 \implies 12a + 2b = 0$$
Simplificamos la tercera ecuación: $12a + 2b = 0 \implies b = -6a$.
Paso 5
Resolución del sistema de ecuaciones
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
1) $a + b + c = 8$
2) $3a + 2b + c = 0$
3) $b = -6a$
Sustituimos $b = -6a$ en las ecuaciones (1) y (2):
- De (1): $a - 6a + c = 8 \implies -5a + c = 8 \implies c = 8 + 5a$
- De (2): $3a + 2(-6a) + c = 0 \implies 3a - 12a + c = 0 \implies -9a + c = 0$
Sustituimos $c$ en la ecuación resultante de (2):
$$-9a + (8 + 5a) = 0$$
$$-4a + 8 = 0 \implies 4a = 8 \implies \mathbf{a = 2}$$
Calculamos ahora $b$ y $c$:
- $b = -6(2) = \mathbf{-12}$
- $c = 9(2) = \mathbf{18}$
💡 **Tip:** Para confirmar que es un máximo y no un mínimo, comprobamos $f''(1) = 12(2) - 24 = 0$ (vaya, hay que revisar). Con $a=2, b=-12$, $f''(1) = 12(1) - 24 = -12 < 0$. Al ser negativa, efectivamente es un máximo.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{a = 2, \quad b = -12, \quad c = 18}$$
La función es $f(x) = 2x^3 - 12x^2 + 18x$.