Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $m$.** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $AX = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ m & 0 & 2 \\ 0 & m & -1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 5 \\ m & 0 & 2 & 0 \\ 0 & m & -1 & m \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ m & 0 & 2 \\ 0 & m & -1 \end{vmatrix} = [1 \cdot 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 \cdot 0 + 1 \cdot m \cdot m] - [0 \cdot 0 \cdot 1 + m \cdot 2 \cdot 1 + (-1) \cdot m \cdot 3]$$ $$|A| = [0 + 0 + m^2] - [0 + 2m - 3m] = m^2 - (-m) = m^2 + m$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$m^2 + m = 0 \implies m(m + 1) = 0 \implies \mathbf{m = 0, \; m = -1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $|A| \neq 0$, el rango de la matriz es máximo (3) y el sistema siempre será compatible determinado.

Analizamos los tres casos posibles según los valores de $m$: **Caso 1: $m \neq 0$ y $m \neq -1$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rang}(A) = 3$. Como el número de incógnitas es 3, $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3$. El sistema es **Compatible Determinado (SCD)** (solución única). **Caso 2: $m = 0$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ Como las filas 2 y 3 son proporcionales ($R_2 = -2R_3$), $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*)$. Tomamos un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$. Por tanto, $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2$. Al ser menor que el número de incógnitas (3), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 3: $m = -1$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 5 \\ -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right)$$ $\text{rang}(A) = 2$ pues el menor $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$. Para $\text{rang}(A^*)$, calculamos el determinante de las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} = -(-1) \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3 + 5) = 2 \neq 0$$ Como $\text{rang}(A) = 2$ y $\text{rang}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} m \neq 0, -1: \text{SCD} \\ m = 0: \text{SCI} \\ m = -1: \text{SI} \end{cases}}$$

**b) Resuelva el sistema para $m = 1$.** Sustituimos $m = 1$ en el sistema original: $$\begin{cases} x + 3y + z = 5 \quad (1) \\ x + 2z = 0 \quad (2) \\ y - z = 1 \quad (3) \end{cases}$$ De la ecuación (2) despejamos $x$: $$x = -2z$$ De la ecuación (3) despejamos $y$: $$y = 1 + z$$ Sustituimos ambas en la ecuación (1): $$(-2z) + 3(1 + z) + z = 5$$ $$-2z + 3 + 3z + z = 5 \implies 2z + 3 = 5 \implies 2z = 2 \implies \mathbf{z = 1}$$ Ahora calculamos $x$ e $y$: $$x = -2(1) = \mathbf{-2}$$ $$y = 1 + 1 = \mathbf{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -2, \; y = 2, \; z = 1}$$

**c) Resuelva el sistema cuando este tenga infinitas soluciones.** Según la discusión del apartado a), el sistema tiene infinitas soluciones cuando **$m = 0$** (Caso SCI). Sustituimos $m = 0$ en el sistema: $$\begin{cases} x + 3y + z = 5 \\ 2z = 0 \\ -z = 0 \end{cases}$$ De las ecuaciones segunda y tercera obtenemos inmediatamente: $$\mathbf{z = 0}$$ Sustituyendo en la primera ecuación: $$x + 3y + 0 = 5 \implies x = 5 - 3y$$ Para expresar la solución general, parametrizamos $y = \lambda$: $$\begin{cases} x = 5 - 3\lambda \\ y = \lambda \\ z = 0 \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** Un sistema compatible indeterminado siempre requiere el uso de parámetros para definir el conjunto infinito de soluciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (5 - 3\lambda, \lambda, 0), \; \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$