Optimización del área de un terreno triangular

**a) Plantee la ecuación de la recta $r$ que define el tercer lado del triángulo en función de su pendiente $m$, y compruebe que el área del terreno viene dada por $A(m) = \frac{3}{2} \cdot \frac{m^2 - 2m + 1}{m^2 - 3m}$.** La recta $r$ pasa por el punto $P(1, 1)$ y tiene una pendiente $m$. Utilizamos la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ Sustituyendo $P(1, 1)$: $$y - 1 = m(x - 1) \implies y = mx - m + 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente $m$ de esta recta debe ser negativa para que, junto con las rectas $y=0$ e $y=3x$, encierre un triángulo en el primer cuadrante que contenga al punto $P$. ✅ **Resultado (recta r):** $$\boxed{r: y = mx - m + 1}$$

Para hallar el área, necesitamos los vértices del triángulo. Un vértice es el origen $O(0, 0)$. Los otros dos son las intersecciones de la recta $r$ con las rectas dadas. **Intersección con $y = 0$ (Punto A):** $$0 = mx - m + 1 \implies mx = m - 1 \implies x_A = \frac{m-1}{m}$$ El punto es $A\left(\frac{m-1}{m}, 0\right)$. **Intersección con $y = 3x$ (Punto B):** $$3x = mx - m + 1 \implies 3x - mx = 1 - m \implies x(3 - m) = 1 - m \implies x_B = \frac{1-m}{3-m}$$ Para hallar $y_B$, sustituimos en $y=3x$: $$y_B = 3 \cdot \frac{1-m}{3-m} = \frac{3-3m}{3-m}$$ El punto es $B\left(\frac{1-m}{3-m}, \frac{3-3m}{3-m}\right)$.

El triángulo tiene base sobre el eje $X$ (recta $y=0$). La longitud de la base es la coordenada $x$ del punto $A$ (ya que el otro extremo es el origen): $$\text{Base} = x_A = \frac{m-1}{m}$$ La altura es la coordenada $y$ del punto $B$: $$\text{Altura} = y_B = \frac{3-3m}{3-m}$$ El área del terreno es $A = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura}$: $$A(m) = \frac{1}{2} \left( \frac{m-1}{m} \right) \left( \frac{3-3m}{3-m} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3(m-1)(1-m)}{m(3-m)}$$ Multiplicamos los términos del numerador: $$3(m-1)(1-m) = 3(m - m^2 - 1 + m) = 3(-m^2 + 2m - 1) = -3(m^2 - 2m + 1)$$ Y el denominador: $$m(3-m) = 3m - m^2 = -(m^2 - 3m)$$ Sustituyendo: $$A(m) = \frac{1}{2} \cdot \frac{-3(m^2 - 2m + 1)}{-(m^2 - 3m)} = \frac{3}{2} \cdot \frac{m^2 - 2m + 1}{m^2 - 3m}$$ ✅ **Resultado (comprobación):** $$\boxed{A(m) = \frac{3}{2} \cdot \frac{m^2 - 2m + 1}{m^2 - 3m}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "m", "latex": "m=-3", "slider": { "hardMin": -10, "hardMax": -0.1 } }, { "id": "r1", "latex": "y=0", "color": "#000000" }, { "id": "r2", "latex": "y=3x", "color": "#000000" }, { "id": "r", "latex": "y=m(x-1)+1", "color": "#2563eb" }, { "id": "P", "latex": "P=(1,1)", "color": "#ef4444", "showLabel": true }, { "id": "tri", "latex": "polygon((0,0), ((m-1)/m, 0), ((1-m)/(3-m), 3(1-m)/(3-m)))", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 4, "bottom": -1, "top": 5 } } }

**b) Calcule el valor de $m$ que hace que el área de este terreno (y, por tanto, su precio) sea mínima. ¿Cuál es el valor de esta área?** Para minimizar el área, derivamos $A(m)$ respecto a $m$. Usamos la regla del cociente: $$A'(m) = \frac{3}{2} \cdot \frac{(2m-2)(m^2-3m) - (m^2-2m+1)(2m-3)}{(m^2-3m)^2}$$ Desarrollamos el numerador: $$N = (2m^3 - 6m^2 - 2m^2 + 6m) - (2m^3 - 3m^2 - 4m^2 + 6m + 2m - 3)$$ $$N = (2m^3 - 8m^2 + 6m) - (2m^3 - 7m^2 + 8m - 3)$$ $$N = -m^2 - 2m + 3$$ La derivada es: $$A'(m) = \frac{3}{2} \cdot \frac{-m^2 - 2m + 3}{(m^2 - 3m)^2}$$ 💡 **Tip:** Para optimizar, buscamos los puntos críticos donde $A'(m) = 0$.

Igualamos la derivada a cero: $$-m^2 - 2m + 3 = 0 \implies m^2 + 2m - 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: $m_1 = 1$ y $m_2 = -3$. Como hemos observado gráficamente y por la posición del punto $P$, la pendiente $m$ debe ser negativa para formar el triángulo deseado. Por tanto, descartamos $m=1$ y tomamos **$m = -3$**. **Estudio del signo de $A'(m)$:** $$\begin{array}{c|ccc} m & (-\infty, -3) & -3 & (-3, 0) \\\hline A'(m) & - & 0 & + \\\hline \text{Comportamiento} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ Al pasar de decreciente a creciente, en $m=-3$ hay un **mínimo relativo**. ✅ **Resultado (valor de m):** $$\boxed{m = -3}$$

Calculamos el valor del área para $m = -3$ sustituyendo en la función $A(m)$: $$A(-3) = \frac{3}{2} \cdot \frac{(-3)^2 - 2(-3) + 1}{(-3)^2 - 3(-3)}$$ $$A(-3) = \frac{3}{2} \cdot \frac{9 + 6 + 1}{9 + 9} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{18}$$ Simplificamos la fracción $\frac{16}{18} = \frac{8}{9}$: $$A(-3) = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{9} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$$ ✅ **Resultado (Área mínima):** $$\boxed{A_{min} = \frac{4}{3} \approx 1,33 \text{ unidades de área}}$$