Matrices con parámetros: conmutación, inversibilidad y potencias

**a) Encuentre los valores de $a$ para los cuales las matrices $A$ y $B$ conmutan. (Dos matrices $A$ y $B$ conmutan si $A \cdot B = B \cdot A$).** En primer lugar, calculamos el producto $A \cdot B$ multiplicando filas de $A$ por columnas de $B$: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot 2 + 0\cdot 1 & a\cdot 0 + 0\cdot 4 \\ 1\cdot 2 + a^2\cdot 1 & 1\cdot 0 + a^2\cdot 4 \end{pmatrix}$$ $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 2a & 0 \\ 2 + a^2 & 4a^2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo en general, por lo que debemos calcular ambos órdenes por separado.

Ahora calculamos el producto $B \cdot A$: $$B \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot a + 0\cdot 1 & 2\cdot 0 + 0\cdot a^2 \\ 1\cdot a + 4\cdot 1 & 1\cdot 0 + 4\cdot a^2 \end{pmatrix}$$ $$B \cdot A = \begin{pmatrix} 2a & 0 \\ a + 4 & 4a^2 \end{pmatrix}$$

Para que $A$ y $B$ conmuten, debe cumplirse que $A \cdot B = B \cdot A$. Igualamos los elementos correspondientes de ambas matrices: $$\begin{pmatrix} 2a & 0 \\ 2 + a^2 & 4a^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a & 0 \\ a + 4 & 4a^2 \end{pmatrix}$$ Los elementos $a_{11}$, $a_{12}$ y $a_{22}$ ya son idénticos. Solo necesitamos que se cumpla la igualdad en el elemento $a_{21}$: $$2 + a^2 = a + 4$$ Reordenamos para obtener una ecuación de segundo grado: $$a^2 - a - 2 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Esto nos da dos posibles soluciones: - $a_1 = \frac{4}{2} = 2$ - $a_2 = \frac{-2}{2} = -1$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2 \text{ y } a = -1}$$

**b) Encuentre los valores de $a$ para los cuales la matriz $A$ es invertible.** Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a^2 \end{pmatrix}$: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 0 \\ 1 & a^2 \end{vmatrix} = a \cdot a^2 - 1 \cdot 0 = a^3$$ 💡 **Tip:** Una matriz con una fila o columna de ceros (excepto un elemento) tiene un determinante muy sencillo de calcular. En este caso, al ser triangular superior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

Imponemos la condición de que el determinante no sea nulo: $$|A| \neq 0 \implies a^3 \neq 0$$ Extrayendo la raíz cúbica en ambos lados: $$a \neq \sqrt[3]{0} \implies a \neq 0$$ Por tanto, la matriz $A$ es invertible para cualquier valor real de $a$ excepto el cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**c) Encuentre los valores de $a$ para los cuales $A^{-1} = A$.** La condición $A^{-1} = A$ es equivalente a multiplicar por $A$ en ambos lados de la igualdad: $$A \cdot A^{-1} = A \cdot A \implies I = A^2$$ Es decir, buscamos los valores de $a$ tales que la matriz al cuadrado sea la matriz identidad $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. 💡 **Tip:** Es mucho más sencillo calcular $A^2$ e igualarla a la identidad que calcular la matriz inversa $A^{-1}$ con parámetros.

Calculamos $A^2$: $$A^2 = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 0 & 0 + 0 \\ a + a^2 & 0 + a^4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ a + a^2 & a^4 \end{pmatrix}$$ Igualamos término a término con la matriz identidad $I$: $$\begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ a + a^2 & a^4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Esto nos genera el siguiente sistema de ecuaciones: 1) $a^2 = 1 \implies a = \pm 1$ 2) $a + a^2 = 0 \implies a(1 + a) = 0 \implies a = 0 \text{ o } a = -1$ 3) $a^4 = 1 \implies a = \pm 1$ Buscamos el valor de $a$ que satisfaga las tres ecuaciones simultáneamente.

Analizamos las soluciones obtenidas: - De la ec. (1) y (3), $a$ debe ser $1$ o $-1$. - De la ec. (2), $a$ debe ser $0$ o $-1$. El único valor que cumple todas las condiciones al mismo tiempo es **$a = -1$**. Si $a = 1$, la ecuación (2) no se cumpliría ($1 + 1^2 = 2 \neq 0$). Si $a = 0$, la ecuación (1) no se cumpliría ($0^2 = 0 \neq 1$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -1}$$