Análisis 2025 Cataluna
Optimización de la superficie de una botella de perfume
El diseñador de una casa de perfumes ha decidido que la botella del próximo perfume que la empresa sacará al mercado será de cristal y tendrá la forma de un cilindro con una media esfera en la parte superior, tal como se puede ver en la siguiente figura:
El perfume estará contenido en la parte cilíndrica, la cual tiene una capacidad de $100\text{ cm}^3$. El ingeniero a cargo del proceso de producción se propone minimizar el coste total del cristal usado y, por tanto, quiere que la superficie total de la botella sea mínima.
a) Compruebe que la superficie total de la botella de perfume viene dada por la fórmula $S(r) = 3\pi r^2 + \frac{200}{r}$.
[1 punto]
b) ¿Qué dimensiones debe tener la botella de perfume para que su superficie total sea mínima? ¿Cuál es la superficie total de la botella en este caso?
[1,5 puntos]
Nota: Recuerde que la superficie de una esfera viene dada por la fórmula $4\pi r^2$, donde $r$ es su radio.
Paso 1
Identificar los componentes de la superficie y el volumen
**a) Compruebe que la superficie total de la botella de perfume viene dada por la fórmula $S(r) = 3\pi r^2 + \frac{200}{r}$.**
La botella está compuesta por tres partes de cristal que forman su superficie:
1. La **base inferior** del cilindro (un círculo de radio $r$): $A_{base} = \pi r^2$.
2. La **superficie lateral** del cilindro: $A_{lateral} = 2\pi r h$.
3. La **semiesfera superior**: Al ser media esfera, su área es $\frac{1}{2}(4\pi r^2) = 2\pi r^2$.
La superficie total $S$ es la suma de estas tres áreas:
$$S = \pi r^2 + 2\pi r h + 2\pi r^2 = 3\pi r^2 + 2\pi r h$$
💡 **Tip:** El enunciado indica que el perfume solo está en la parte cilíndrica, pero el cristal forma toda la botella (incluyendo la semiesfera decorativa superior y la base sobre la que se apoya).
Paso 2
Relacionar la altura h con el radio r mediante el volumen
Sabemos que el volumen del cilindro es de $100\text{ cm}^3$. La fórmula del volumen de un cilindro es $V = \pi r^2 h$. Por tanto:
$$\pi r^2 h = 100$$
Despejamos la altura $h$ en función de $r$:
$$h = \frac{100}{\pi r^2}$$
Ahora sustituimos esta expresión de $h$ en la fórmula de la superficie total obtenida en el paso anterior:
$$S(r) = 3\pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{100}{\pi r^2} \right)$$
Simplificamos los términos (cancelando $\pi$ y una $r$):
$$S(r) = 3\pi r^2 + \frac{200}{r}$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{S(r) = 3\pi r^2 + \frac{200}{r}}$$
Paso 3
Derivar la función de superficie para hallar el mínimo
**b) ¿Qué dimensiones debe tener la botella de perfume para que su superficie total sea mínima? ¿Cuál es la superficie total de la botella en este caso?**
Para minimizar la superficie, buscamos los puntos críticos de $S(r)$ calculando su primera derivada e igualándola a cero.
$$S(r) = 3\pi r^2 + 200r^{-1}$$
$$S'(r) = 6\pi r - 200r^{-2} = 6\pi r - \frac{200}{r^2}$$
Igualamos a cero:
$$6\pi r - \frac{200}{r^2} = 0 \implies 6\pi r = \frac{200}{r^2} \implies 6\pi r^3 = 200$$
Despejamos $r$:
$$r^3 = \frac{200}{6\pi} = \frac{100}{3\pi}$$
$$r = \sqrt[3]{\frac{100}{3\pi}} \approx 2.198 \text{ cm}$$
💡 **Tip:** Para derivar $\frac{200}{r}$, es más sencillo verlo como $200r^{-1}$, cuya derivada es $-200r^{-2}$.
Paso 4
Verificar que es un mínimo y calcular la altura
Para confirmar que es un mínimo, usamos la segunda derivada $S''(r)$:
$$S''(r) = 6\pi + \frac{400}{r^3}$$
Dado que $r > 0$, entonces $S''(r)$ siempre será positivo ($S''(r) > 0$), lo que confirma que el valor hallado es un **mínimo relativo**.
Calculamos ahora la altura $h$ sustituyendo $r^3 = \frac{100}{3\pi}$ en la relación del volumen:
$$h = \frac{100}{\pi r^2} = \frac{100}{\pi \left(\frac{100}{3\pi}\right)^{2/3}}$$
Si observamos la relación $6\pi r^3 = 200$ del paso anterior, podemos ver que $100 = 3\pi r^3$. Sustituyendo esto en la fórmula de $h$:
$$h = \frac{3\pi r^3}{\pi r^2} = 3r$$
Por tanto:
$$h = 3 \cdot \sqrt[3]{\frac{100}{3\pi}} \approx 3 \cdot 2.198 = 6.594 \text{ cm}$$
✅ **Dimensiones óptimas:**
$$\boxed{r = \sqrt[3]{\frac{100}{3\pi}} \text{ cm} \approx 2.20 \text{ cm}, \quad h = 3\sqrt[3]{\frac{100}{3\pi}} \text{ cm} \approx 6.59 \text{ cm}}$$
Paso 5
Calcular la superficie total mínima
Sustituimos el valor de $r$ en la función $S(r)$ original para hallar la superficie mínima:
$$S_{mín} = S\left(\sqrt[3]{\frac{100}{3\pi}}\right) = 3\pi \left(\frac{100}{3\pi}\right)^{2/3} + \frac{200}{\left(\frac{100}{3\pi}\right)^{1/3}}$$
Calculando el valor numérico:
$$S_{mín} \approx 3\pi (2.198)^2 + \frac{200}{2.198} \approx 45.51 + 90.99 = 136.50 \text{ cm}^2$$
O de forma exacta usando $r^3 = \frac{100}{3\pi} \implies \frac{1}{r} = \frac{3\pi r^2}{100}$:
$$S(r) = 3\pi r^2 + \frac{200 \cdot 3\pi r^2}{100} = 3\pi r^2 + 6\pi r^2 = 9\pi r^2$$
$$S_{mín} = 9\pi \left( \frac{100}{3\pi} \right)^{2/3} \text{ cm}^2$$
✅ **Superficie mínima:**
$$\boxed{S \approx 136.50 \text{ cm}^2}$$
Representación de la función de superficie $S(r)$: