Probabilidad Total, Bayes e Integración de una Función de Distribución

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que un mensaje sea enviado por el filtro a la carpeta de correo basura?** Primero, definimos los sucesos principales para organizar la información del enunciado: - $B$: El mensaje es correo basura (spam). - $\bar{B}$: El mensaje no es correo basura (mensaje bueno). - $S$: El mensaje es enviado a la carpeta de correo basura por el filtro. - $\bar{S}$: El mensaje es enviado a la bandeja de entrada. Datos del enunciado: - $P(B) = 0,25 \implies P(\bar{B}) = 1 - 0,25 = 0,75$ - $P(S|B) = 0,95$ (probabilidad de clasificar correctamente el spam). - $P(\bar{S}|\bar{B}) = 0,90$ (mensajes buenos que se quedan en la entrada) $\implies P(S|\bar{B}) = 1 - 0,90 = 0,10$ (mensajes buenos enviados a basura por error). Representamos la situación en un árbol de probabilidad:

Para calcular la probabilidad de que un mensaje acabe en la carpeta de basura ($P(S)$), utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total** sumando las dos vías posibles: que sea basura y se clasifique bien, o que sea bueno y se clasifique mal. $$P(S) = P(B) \cdot P(S|B) + P(\bar{B}) \cdot P(S|\bar{B})$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(S) = 0,25 \cdot 0,95 + 0,75 \cdot 0,10$$ $$P(S) = 0,2375 + 0,075$$ $$P(S) = 0,3125$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad total es la suma de todas las intersecciones que contienen al suceso objetivo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S) = 0,3125}$$ (o lo que es lo mismo, un $31,25\%$ de probabilidad).

**b) Un día, el usuario abre la carpeta de correo basura. ¿Qué porcentaje de mensajes que no son correo basura encontrará?** Se nos pide la probabilidad de que un mensaje NO sea basura sabiendo que está en la carpeta de basura, es decir, la probabilidad condicionada $P(\bar{B}|S)$. Utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(\bar{B}|S) = \frac{P(\bar{B} \cap S)}{P(S)} = \frac{P(\bar{B}) \cdot P(S|\bar{B})}{P(S)}$$ Utilizamos el valor de $P(S)$ calculado en el apartado anterior: $$P(\bar{B}|S) = \frac{0,75 \cdot 0,10}{0,3125}$$ $$P(\bar{B}|S) = \frac{0,075}{0,3125}$$ $$P(\bar{B}|S) = 0,24$$ El enunciado pide el porcentaje: $0,24 \cdot 100 = 24\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{24\% \text{ de los mensajes en la carpeta basura no lo son}}$$

**c) Sabiendo que la probabilidad de recibir como mínimo dos correos en menos de dos minutos es $1 - e^{-1}$, encuentre el valor de $A$.** Se nos indica que $F(t)$ representa la probabilidad para un tiempo $t$. Según los datos: $$F(2) = 1 - e^{-1}$$ Sustituimos en la función integral definida: $$\int_0^2 Ae^{-0,5x} dx = 1 - e^{-1}$$ Primero, calculamos la integral indefinida (primitiva). Como $A$ es una constante, sale fuera. La integral de $e^{kx}$ es $\frac{1}{k}e^{kx}$: $$\int Ae^{-0,5x} dx = A \cdot \frac{e^{-0,5x}}{-0,5} = -2A e^{-0,5x}$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $0$ y $2$: $$\left[ -2A e^{-0,5x} \right]_0^2 = (-2A e^{-0,5 \cdot 2}) - (-2A e^{-0,5 \cdot 0})$$ $$= -2A e^{-1} - (-2A \cdot 1)$$ $$= -2A e^{-1} + 2A = 2A(1 - e^{-1})$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $e^0 = 1$ y que al aplicar Barrow restamos el valor en el límite inferior. Igualamos al valor dado por el enunciado: $$2A(1 - e^{-1}) = 1 - e^{-1}$$ Como $1 - e^{-1} \neq 0$, podemos simplificar ambos lados de la ecuación dividiendo por ese término: $$2A = 1 \implies A = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = 0,5}$$