Discusión de un sistema con parámetros y posición relativa de planos

**a) Discuta el sistema en función del valor de $a$.** Escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & a \\ -2 & -6 & 2 \\ a & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad A' = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & a & 1 \\ -2 & -6 & 2 & 2a \\ a & 3 & 1 & 3 \end{array} \right)$$ Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & a \\ -2 & -6 & 2 \\ a & 3 & 1 \end{vmatrix} = [1 \cdot (-6) \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot a + a \cdot (-2) \cdot 3] - [a \cdot (-6) \cdot a + 3 \cdot (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 3]$$ $$|A| = [-6 + 6a - 6a] - [-6a^2 - 6 + 6] = -6 - (-6a^2) = 6a^2 - 6$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$6a^2 - 6 = 0 \implies 6a^2 = 6 \implies a^2 = 1 \implies a = 1, \quad a = -1$$ 💡 **Tip:** El estudio de los rangos de $A$ y $A'$ nos permitirá aplicar el Teorema de Rouché-Frobenius.

Analizamos los casos posibles para el parámetro $a$: **Caso 1: $a \neq 1$ y $a \neq -1$** Si $a \neq \pm 1$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto, $\text{rang}(A) = 3 = \text{rang}(A') = n$ (número de incógnitas). Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, con una solución única. **Caso 2: $a = 1$** La matriz ampliada es $A' = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 1 \\ -2 & -6 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \end{pmatrix}$. Como $|A|=0$, $\text{rang}(A) < 3$. Observamos el menor $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -6 & 2 \end{vmatrix} = 6 - (-6) = 12 \neq 0$, luego $\text{rang}(A) = 2$. Para el rango de $A'$, estudiamos el determinante de una submatriz $3 \times 3$ que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ -6 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (18 + 6 - 6) - (6 + 6 - 18) = 18 - (-6) = 24 \neq 0$$ Como $\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A') = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. **Caso 3: $a = -1$** La matriz ampliada es $A' = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 & 1 \\ -2 & -6 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \end{pmatrix}$. Notamos que la fila 2 es proporcional a la fila 1 ($F_2 = -2F_1$). El rango de $A$ y $A'$ será el mismo que el de la matriz omitiendo la fila 2: $$\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 3 - (-3) = 6 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2, \text{rang}(A') = 2$$ Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A') = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} a \neq \pm 1: \text{SCD} \\ a = 1: \text{SI} \\ a = -1: \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) Describa la posición relativa de los tres planos $\pi_1, \pi_2$ y $\pi_3$ en función del valor de $a$.** Analizamos la geometría asociada a cada caso: 1. **Si $a \neq \pm 1$**: El sistema es Compatible Determinado. Los tres planos se cortan en un **único punto**. 2. **Si $a = 1$**: $\pi_1: x + 3y + z = 1$ $\pi_2: -2x - 6y + 2z = 2 \implies -x - 3y + z = 1$ $\pi_3: x + 3y + z = 3$ Observamos que $\pi_1$ y $\pi_3$ tienen el mismo vector normal $\vec{n} = (1, 3, 1)$ pero distintos términos independientes ($1 \neq 3$). Por tanto, **$\pi_1$ y $\pi_3$ son paralelos y distintos**. El plano $\pi_2$ corta a ambos ya que su vector normal $(-1, -3, 1)$ no es proporcional al de los otros. 3. **Si $a = -1$**: $\pi_1: x + 3y - z = 1$ $\pi_2: -2x - 6y + 2z = -2 \implies x + 3y - z = 1$ $\pi_3: -x + 3y + z = 3$ Aquí, $\pi_1$ y $\pi_2$ son el mismo plano (**coincidentes**). Como $\text{rang}(A)=2$, el plano $\pi_3$ no es paralelo a ellos y los corta en una **recta**. 💡 **Tip:** Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales. Son coincidentes si además los términos independientes mantienen esa proporción. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} a \neq \pm 1: & \text{ Se cortan en un punto.} \\ a = 1: & \pi_1 \parallel \pi_3, \text{ ambos cortados por } \pi_2. \\ a = -1: & \pi_1 = \pi_2, \text{ cortados por } \pi_3 \text{ en una recta.} \end{aligned}}$$

**c) ¿En algún caso la intersección de los tres planos es una recta? En caso afirmativo, diga para qué valor del parámetro, y dé un vector director y un punto de esta recta.** Como hemos visto en el apartado anterior, la intersección es una recta cuando el sistema es **Compatible Indeterminado de rango 2**, lo cual ocurre para **$a = -1$**. Para hallar la recta, usamos las ecuaciones de $\pi_1$ (que es igual a $\pi_2$) y $\pi_3$: $$\begin{cases} x + 3y - z = 1 \\ -x + 3y + z = 3 \end{cases}$$ **Cálculo del vector director $\vec{v}$:** Es el producto vectorial de los vectores normales $\vec{n}_1 = (1, 3, -1)$ y $\vec{n}_3 = (-1, 3, 1)$: $$\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_3 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 3 & -1 \\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 - (-3)) - \mathbf{j}(1 - 1) + \mathbf{k}(3 - (-3)) = 6\mathbf{i} + 6\mathbf{k} = (6, 0, 6)$$ Podemos simplificar el vector director a **$\vec{v} = (1, 0, 1)$**. **Cálculo de un punto $P$:** Asignamos un valor a una de las variables, por ejemplo $z = 0$: $$\begin{cases} x + 3y = 1 \\ -x + 3y = 3 \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $6y = 4 \implies y = 2/3$. Sustituyendo en la primera: $x + 3(2/3) = 1 \implies x + 2 = 1 \implies x = -1$. El punto es **$P(-1, 2/3, 0)$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -1; \quad \vec{v} = (1, 0, 1); \quad P(-1, 2/3, 0)}$$