Estudio de una función radical: dominio, monotonía y recta tangente

**a) Indique el dominio de esta función y los cortes de la curva $y = f(x)$ con los ejes de coordenadas.** Para que la función raíz cuadrada esté definida en el conjunto de los números reales, el radicando debe ser mayor o igual a cero: $$1 + x^3 \ge 0 \implies x^3 \ge -1 \implies x \ge \sqrt[3]{-1} \implies x \ge -1$$ Por lo tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = [-1, +\infty)$$ **Cortes con los ejes:** 1. **Eje Y (ordenada en el origen):** Hacemos $x = 0$. $$f(0) = \sqrt{1 + 0^3} = \sqrt{1} = 1$$ El punto de corte es **$(0, 1)$**. 2. **Eje X (abscisas):** Hacemos $f(x) = 0$. $$\sqrt{1 + x^3} = 0 \implies 1 + x^3 = 0 \implies x^3 = -1 \implies x = -1$$ El punto de corte es **$(-1, 0)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para funciones con raíces de índice par, el dominio se halla resolviendo la inecuación $\text{radicando} \ge 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = [-1, +\infty); \text{ Cortes: } (0, 1) \text{ y } (-1, 0)}$$

**b) Resuelva la ecuación $f'(x) = 0$ y estudie las zonas de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$, así como sus máximos y mínimos locales.** Primero, calculamos la derivada de $f(x) = (1 + x^3)^{1/2}$ usando la regla de la cadena: $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^3}} \cdot (1 + x^3)' = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^3}} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{2\sqrt{1 + x^3}}$$ Para hallar los puntos críticos, resolvemos $f'(x) = 0$: $$\frac{3x^2}{2\sqrt{1 + x^3}} = 0 \implies 3x^2 = 0 \implies x = 0$$ 💡 **Tip:** La derivada de $\sqrt{u}$ es $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$. En este caso $u = 1 + x^3$. ✅ **Resultado (Ecuación):** $$\boxed{f'(x) = 0 \implies x = 0}$$

Analizamos el signo de $f'(x)$ en el dominio $(-1, +\infty)$. Notamos que el denominador $2\sqrt{1+x^3}$ siempre es positivo en el dominio abierto, y el numerador $3x^2$ también es siempre positivo o cero. $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-1, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & + \\ f(x) & \nearrow & \text{Punto de inflexión} & \nearrow \end{array} $$ - En el intervalo $(-1, 0)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f$ es **creciente**. - En el intervalo $(0, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f$ es **creciente**. Como la función es continua y la derivada no cambia de signo en $x=0$, no hay un máximo ni un mínimo local en dicho punto (es un punto de inflexión con tangente horizontal). En $x = -1$, la función tiene un **mínimo absoluto** (inicio del dominio), pero no es un mínimo local en el sentido estricto de derivabilidad. 💡 **Tip:** Si $f'(x) \ge 0$ en todo un intervalo y solo se anula en puntos aislados, la función es estrictamente creciente en ese intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } (-1, +\infty). \text{ No existen máximos ni mínimos locales en } (-1, +\infty)}$$

**c) Encuentre cuál debe ser el valor de $a$ para que el punto $(a, 3)$ pertenezca a la gráfica de la función y calcule la ecuación de la recta tangente a la curva $y = f(x)$ en este punto.** Para que $(a, 3)$ pertenezca a la gráfica, se debe cumplir $f(a) = 3$: $$\sqrt{1 + a^3} = 3 \implies 1 + a^3 = 3^2 \implies 1 + a^3 = 9 \implies a^3 = 8 \implies a = 2$$ Ahora calculamos la ecuación de la recta tangente en $x = 2$. La fórmula es $y - f(2) = f'(2)(x - 2)$. Ya sabemos que $f(2) = 3$. Calculamos la pendiente $m = f'(2)$: $$f'(2) = \frac{3(2)^2}{2\sqrt{1 + 2^3}} = \frac{3 \cdot 4}{2\sqrt{9}} = \frac{12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$$ La ecuación es: $$y - 3 = 2(x - 2) \implies y - 3 = 2x - 4 \implies y = 2x - 1$$ 💡 **Tip:** La recta tangente en $x = a$ tiene pendiente $m = f'(a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2; \quad \text{Recta tangente: } y = 2x - 1}$$