Geometría: Planos perpendiculares y puntos equidistantes

**a) Calcule la ecuación del plano $\pi'$ que es perpendicular a $\pi$ y contiene los puntos $P = (1, -1, 2)$ y $Q = (3, -3, 6)$.** Para determinar la ecuación de un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (o un vector normal). 1. **Punto:** Usamos $P(1, -1, 2)$. 2. **Primer vector director ($\vec{v_1}$):** Como el plano contiene a $P$ y $Q$, el vector $\vec{PQ}$ está contenido en $\pi'$: $$\vec{v_1} = \vec{PQ} = Q - P = (3 - 1, -3 - (-1), 6 - 2) = (2, -2, 4).$$ Podemos simplificarlo usando $\vec{v_1} = (1, -1, 2)$. 3. **Segundo vector director ($\vec{v_2}$):** Se nos dice que $\pi'$ es perpendicular al plano $\pi: x + y = 0$. El vector normal de $\pi$ es $\vec{n_{\pi}} = (1, 1, 0)$. Si dos planos son perpendiculares, el vector normal de uno es paralelo al plano del otro. Por tanto: $$\vec{v_2} = \vec{n_{\pi}} = (1, 1, 0).$$ 💡 **Tip:** Si un plano $\pi'$ es perpendicular a otro $\pi$, el vector normal $\vec{n_\pi}$ puede tomarse como vector director de $\pi'$.

Con el punto $P(1, -1, 2)$ y los vectores directores $\vec{v_1}=(1, -1, 2)$ y $\vec{v_2}=(1, 1, 0)$, planteamos el determinante para hallar la ecuación general: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y + 1 & z - 2 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la primera fila: $$(x - 1) \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - (y + 1) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + (z - 2) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x - 1)(0 - 2) - (y + 1)(0 - 2) + (z - 2)(1 - (-1)) = 0$$ $$-2(x - 1) + 2(y + 1) + 2(z - 2) = 0$$ $$-2x + 2 + 2y + 2 + 2z - 4 = 0$$ $$-2x + 2y + 2z = 0$$ Dividiendo entre $-2$, obtenemos la ecuación simplificada: $$\boxed{x - y - z = 0}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** La ecuación del plano es $\pi': x - y - z = 0$.

**b) Calcule la ecuación paramétrica de la recta contenida en $\pi'$ y que contiene los puntos de $\pi'$ a la misma distancia de $P$ que de $Q$.** El conjunto de todos los puntos del espacio que equidistan de dos puntos $P$ y $Q$ es el **plano mediador** del segmento $PQ$. La recta que buscamos será la **intersección** entre nuestro plano $\pi'$ y este plano mediador $\pi_{med}$. 1. **Punto del plano mediador:** Es el punto medio $M$ del segmento $PQ$: $$M = \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{-1 - 3}{2}, \frac{2 + 6}{2} \right) = (2, -2, 4).$$ 2. **Vector normal del plano mediador:** Es el vector $\vec{PQ}$ (o uno proporcional): $$\vec{n_{med}} = \vec{PQ} = (2, -2, 4) \implies (1, -1, 2).$$ 💡 **Tip:** El plano mediador es aquel que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a él.

Utilizamos el punto $M(2, -2, 4)$ y el vector normal $\vec{n_{med}} = (1, -1, 2)$: $$1(x - 2) - 1(y + 2) + 2(z - 4) = 0$$ $$x - 2 - y - 2 + 2z - 8 = 0$$ $$x - y + 2z - 12 = 0$$ Por tanto, el plano mediador es $\pi_{med}: x - y + 2z - 12 = 0$.

La recta $r$ es la solución del sistema formado por $\pi'$ y $\pi_{med}$: $$\begin{cases} x - y - z = 0 \\ x - y + 2z - 12 = 0 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $x$ e $y$: $$(x - y + 2z - 12) - (x - y - z) = 0$$ $$3z - 12 = 0 \implies z = 4.$$ Sustituimos $z = 4$ en la primera ecuación: $$x - y - 4 = 0 \implies x = 4 + y.$$ Para escribir las **ecuaciones paramétricas**, llamamos $y = \lambda$: $$\begin{cases} x = 4 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 4 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 4 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 4 \end{cases}}$$