Cálculo del coste de una vela semiparabólica

**Calcule el coste total del material necesario para la construcción de esta vela.** Primero, debemos identificar los límites de integración y los puntos de corte. La vela está definida en el primer cuadrante por la función $f(x) = -x^2 + 25$. 1. **Corte con el eje $OX$ ($y = 0$):** $$-x^2 + 25 = 0 \implies x^2 = 25 \implies x = 5 \quad (x \gt 0)$$ La base de la vela va desde $x = 0$ hasta $x = 5$. 2. **Corte con la recta divisoria ($y = 9$):** $$-x^2 + 25 = 9 \implies -x^2 = -16 \implies x^2 = 16 \implies x = 4$$ La recta $y = 9$ divide la vela en dos regiones. El punto de separación sobre la parábola es $(4, 9)$. 💡 **Tip:** Para encontrar los límites de una región sombreada, iguala las funciones que definen sus fronteras.

La región superior está delimitada superiormente por $f(x) = -x^2 + 25$ e inferiormente por la recta $y = 9$, desde $x = 0$ hasta $x = 4$. $$A_{\text{sup}} = \int_{0}^{4} [f(x) - 9] \, dx = \int_{0}^{4} (-x^2 + 25 - 9) \, dx = \int_{0}^{4} (-x^2 + 16) \, dx$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A_{\text{sup}} = \left[ -\frac{x^3}{3} + 16x \right]_{0}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + 16(4) \right) - (0) = -\frac{64}{3} + 64$$ $$A_{\text{sup}} = \frac{-64 + 192}{3} = \frac{128}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** El área entre dos funciones $g(x)$ y $h(x)$ en $[a,b]$ es $\int_{a}^{b} (g(x) - h(x)) \, dx$ donde $g(x) \ge h(x)$. $$\boxed{A_{\text{sup}} = \frac{128}{3} \approx 42.67 \text{ u}^2}$$

Podemos calcular el área inferior restando el área superior del área total de la vela, o integrando directamente. Calcularemos el área total de la vela $A_{\text{total}}$ desde $x=0$ hasta $x=5$: $$A_{\text{total}} = \int_{0}^{5} (-x^2 + 25) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 25x \right]_{0}^{5}$$ $$A_{\text{total}} = \left( -\frac{125}{3} + 25(5) \right) - 0 = -\frac{125}{3} + 125 = \frac{-125 + 375}{3} = \frac{250}{3} \text{ u}^2$$ Ahora, calculamos el área inferior por diferencia: $$A_{\text{inf}} = A_{\text{total}} - A_{\text{sup}} = \frac{250}{3} - \frac{128}{3} = \frac{122}{3} \text{ u}^2$$ $$\boxed{A_{\text{inf}} = \frac{122}{3} \approx 40.67 \text{ u}^2}$$

Finalmente, multiplicamos cada área por su coste correspondiente por unidad de superficie: - Coste Nailon (superior): $50 \text{ €/u}^2$ - Coste Poliéster (inferior): $70 \text{ €/u}^2$ $$\text{Coste Total} = (A_{\text{sup}} \cdot 50) + (A_{\text{inf}} \cdot 70)$$ $$\text{Coste Total} = \left( \frac{128}{3} \cdot 50 \right) + \left( \frac{122}{3} \cdot 70 \right)$$ $$\text{Coste Total} = \frac{6400}{3} + \frac{8540}{3} = \frac{14940}{3}$$ Dividimos para obtener el resultado final: $$\text{Coste Total} = 4980 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de que las unidades de área y los precios por unidad coinciden antes de realizar la suma final. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{4980 \text{ €}}$$