Probabilidad y Estadística 2025 Cataluna
Probabilidad total, Distribución Binomial y Optimización
Ejercicio 3
Una empresa produce dos tipos de piezas, de hierro y de acero. El 60 % de la producción total corresponde a las piezas de hierro, y el resto son de acero. Sabemos que el 95 % de las piezas de hierro producidas no tienen ningún defecto, mientras que el 3 % de las piezas de acero son defectuosas.
a) Si se coge una pieza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?
[0,75 puntos]
b) La empresa pronto diversificará la producción y empezará a producir también piezas de titanio, que se venderán en paquetes de 5. Si la probabilidad de que una pieza de titanio sea defectuosa es un valor desconocido $p$, y cada pieza es defectuosa independientemente de las demás, compruebe que la expresión que nos da la probabilidad de que en un paquete de 5 piezas haya exactamente 4 defectuosas (en función de $p$) es $f(p) = 5(p^4 - p^5)$.
[0,75 puntos]
c) Considere la función $f(p)$ del apartado anterior. Determine el valor máximo que toma $f(p)$ cuando $p \ge 0$.
[1 punto]
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) Si se coge una pieza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?**
Primero, definimos los sucesos según el enunciado:
- $H$: La pieza es de hierro.
- $A$: La pieza es de acero.
- $D$: La pieza es defectuosa.
- $\bar{D}$: La pieza no es defectuosa (está sana).
Datos proporcionados:
- $P(H) = 0,60$
- $P(A) = 1 - 0,60 = 0,40$
- $P(\bar{D}|H) = 0,95 \implies P(D|H) = 1 - 0,95 = 0,05$ (probabilidad de defecto en hierro).
- $P(D|A) = 0,03$ (probabilidad de defecto en acero).
Representamos la situación en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Aplicación del Teorema de la Probabilidad Total
Para hallar la probabilidad total de que una pieza sea defectuosa, sumamos las probabilidades de ser defectuosa proviniendo de cada material:
$$P(D) = P(H) \cdot P(D|H) + P(A) \cdot P(D|A)$$
Sustituimos los valores:
$$P(D) = 0,60 \cdot 0,05 + 0,40 \cdot 0,03$$
$$P(D) = 0,03 + 0,012 = 0,042$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (ser defectuosa) puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (ser de hierro o de acero).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D) = 0,042}$$
(o equivalentemente un **4,2 %**).
Paso 3
Identificación de la distribución binomial
**b) La empresa pronto diversificará la producción y empezará a producir también piezas de titanio, que se venderán en paquetes de 5. Si la probabilidad de que una pieza de titanio sea defectuosa es un valor desconocido $p$, y cada pieza es defectuosa independientemente de las demás, compruebe que la expresión que nos da la probabilidad de que en un paquete de 5 piezas haya exactamente 4 defectuosas (en función de $p$) es $f(p) = 5(p^4 - p^5)$.**
Sea $X$ la variable aleatoria que cuenta el número de piezas defectuosas en un paquete de $n=5$ piezas. Como cada pieza es independiente y la probabilidad de defecto $p$ es constante, $X$ sigue una **distribución binomial**:
$$X \sim B(n, p) \implies X \sim B(5, p)$$
La fórmula de la probabilidad para una binomial es:
$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
💡 **Tip:** Recuerda que el número combinatorio se calcula como $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Paso 4
Cálculo de la probabilidad solicitada y simplificación
Queremos hallar $P(X=4)$:
$$f(p) = P(X=4) = \binom{5}{4} p^4 (1-p)^{5-4}$$
Calculamos el número combinatorio:
$$\binom{5}{4} = \frac{5!}{4!1!} = 5$$
Sustituimos en la expresión:
$$f(p) = 5 \cdot p^4 \cdot (1-p)^1$$
$$f(p) = 5 \cdot (p^4 \cdot 1 - p^4 \cdot p)$$
$$f(p) = 5(p^4 - p^5)$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{f(p) = 5(p^4 - p^5)}$$
Paso 5
Cálculo de la derivada para hallar el máximo
**c) Considere la función $f(p)$ del apartado anterior. Determine el valor máximo que toma $f(p)$ cuando $p \ge 0$.**
Aunque el enunciado dice $p \ge 0$, dado que $p$ es una probabilidad, su dominio real es $p \in [0, 1]$. Para hallar el máximo, derivamos $f(p) = 5p^4 - 5p^5$:
$$f'(p) = 5 \cdot 4p^3 - 5 \cdot 5p^4$$
$$f'(p) = 20p^3 - 25p^4$$
Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:
$$20p^3 - 25p^4 = 0 \implies 5p^3(4 - 5p) = 0$$
Las soluciones son:
1. $5p^3 = 0 \implies p = 0$
2. $4 - 5p = 0 \implies 5p = 4 \implies p = \frac{4}{5} = 0,8$
💡 **Tip:** Para optimizar, siempre buscamos los puntos donde la derivada se anula y estudiamos el crecimiento/decrecimiento.
Paso 6
Estudio del signo de la derivada y determinación del máximo
Estudiamos el signo de $f'(p)$ en el intervalo $p \in (0, 1)$:
$$\begin{array}{c|ccc}
p & (0, 0,8) & 0,8 & (0,8, 1) \\ \hline
f'(p) & + & 0 & - \\ \hline
f(p) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow)
\end{array}$$
- Si $p=0,5$: $f'(0,5) = 20(0,125) - 25(0,0625) = 2,5 - 1,5625 \gt 0$.
- Si $p=0,9$: $f'(0,9) = 20(0,729) - 25(0,6561) = 14,58 - 16,4025 \lt 0$.
Por tanto, el máximo relativo se alcanza en **$p = 0,8$**.
Paso 7
Valor del máximo y representación gráfica
Calculamos el valor de la función en el punto máximo:
$$f(0,8) = 5(0,8^4 - 0,8^5)$$
$$f(0,8) = 5(0,4096 - 0,32768)$$
$$f(0,8) = 5(0,08192) = 0,4096$$
El valor máximo que toma la función es **0,4096**.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Máximo } f(0,8) = 0,4096}$$