Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $p$.** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$ para identificar la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ p^2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -1 & p+3 \\ p^2 & 0 & -1 & 5 \\ 1 & -1 & 0 & 3 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ p^2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 \cdot 0) + (1 \cdot (-1) \cdot 1) + ((-1) \cdot p^2 \cdot (-1)) - (1 \cdot 0 \cdot (-1)) - ((-1) \cdot (-1) \cdot 0) - (0 \cdot p^2 \cdot 1)$$ $$|A| = 0 - 1 + p^2 - 0 - 0 - 0 = p^2 - 1$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $p$: $$p^2 - 1 = 0 \implies p^2 = 1 \implies p = \pm 1$$ 💡 **Tip:** El determinante nos indica cuándo el rango de la matriz es máximo. Si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es igual al número de incógnitas.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** para discutir el sistema: **Caso 1: $p \neq 1$ y $p \neq -1$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por lo tanto, $\text{rg}(A) = 3$ y $\text{rg}(A^*) = 3$. Al coincidir con el número de incógnitas, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)** (solución única). **Caso 2: $p = 1$** La matriz ampliada es $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & -1 & 5 \\ 1 & -1 & 0 & 3 \end{array}\right)$. Como $|A| = 0$, $\text{rg}(A) < 3$. Tomamos un menor de orden 2: $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, luego $\text{rg}(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$ con un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 5 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = (0+5-4) - (0+0+3) = 1 - 3 = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**. **Caso 3: $p = -1$** La matriz ampliada es $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 5 \\ 1 & -1 & 0 & 3 \end{array}\right)$. $\text{rg}(A) = 2$ por el mismo menor anterior. Comprobamos el rango de $A^*$: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 5 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = (0+5-2) - (0+0+3) = 3 - 3 = 0 \implies \text{rg}(A^*) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$ (nº incógnitas), el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} p \neq 1, -1: \text{SCD} \\ p = 1: \text{SI} \\ p = -1: \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) Resuelva el sistema para el caso $p = -1$.** Para $p = -1$, el sistema es compatible indeterminado. Utilizamos las dos primeras ecuaciones (que son linealmente independientes puesto que el menor de orden 2 que usamos antes pertenecía a estas filas) y pasamos una incógnita al otro lado como parámetro. El sistema reducido es: $$\begin{cases} y - z = 2 \\ x - z = 5 \end{cases}$$ Sea $z = \lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$. Despejamos $x$ e $y$ en función de $\lambda$: 1. De la primera ecuación: $y = 2 + z \implies y = 2 + \lambda$ 2. De la segunda ecuación: $x = 5 + z \implies x = 5 + \lambda$ 💡 **Tip:** En un SCI, siempre debemos expresar las soluciones en función de uno o más parámetros (normalmente $\lambda$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (5 + \lambda, 2 + \lambda, \lambda) \text{ para cualquier } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) Para el caso $p = -1$, ¿existe alguna solución que cumpla, además, $xy = 10$? En caso afirmativo, indique cuántas y encuéntrelas todas.** Utilizamos las expresiones de $x$ e $y$ obtenidas en el apartado anterior y las sustituimos en la condición $xy = 10$: $$(5 + \lambda)(2 + \lambda) = 10$$ Desarrollamos el producto: $$10 + 5\lambda + 2\lambda + \lambda^2 = 10$$ $$\lambda^2 + 7\lambda = 0$$ Factorizamos la ecuación de segundo grado: $$\lambda(\lambda + 7) = 0$$ Esto nos da dos valores posibles para $\lambda$: 1. $\lambda_1 = 0$ 2. $\lambda_2 = -7$ Ahora calculamos las soluciones $(x, y, z)$ para cada valor de $\lambda$: - Para $\lambda = 0$: $x = 5+0=5$, $y = 2+0=2$, $z = 0$. Solución: **$(5, 2, 0)$**. - Para $\lambda = -7$: $x = 5-7=-2$, $y = 2-7=-5$, $z = -7$. Solución: **$(-2, -5, -7)$**. Existen **dos soluciones** que cumplen la condición. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existen dos soluciones: } (5, 2, 0) \text{ y } (-2, -5, -7)}$$