Estudio de función racional: asíntotas, tangentes y pendientes

**a) Determine los cortes de la curva $y = f(x)$ con los ejes de coordenadas, y las ecuaciones de sus posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. [1 punto]** Primero, analizamos el dominio de la función $f(x) = \frac{x^2 - 2x}{x - 1}$. El denominador se anula en $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. **Corte con el eje OY (eje de ordenadas):** Hacemos $x = 0$: $$f(0) = \frac{0^2 - 2(0)}{0 - 1} = \frac{0}{-1} = 0$$ El punto de corte es **$(0, 0)$**. **Cortes con el eje OX (eje de abscisas):** Hacemos $f(x) = 0$: $$\frac{x^2 - 2x}{x - 1} = 0 \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: $x = 0$ y $x = 2$. Los puntos de corte son **$(0, 0)$** y **$(2, 0)$**. ✅ **Resultado (Cortes):** $$\boxed{(0, 0) \text{ y } (2, 0)}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos donde el denominador es cero y el numerador no lo es. Probamos en $x = 1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x}{x - 1} = \frac{1^2 - 2(1)}{1 - 1} = \frac{-1}{0} = \infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en **$x = 1$**. 💡 **Tip:** Si el límite cuando $x \to a$ de $f(x)$ es $\pm\infty$, la recta $x = a$ es una asíntota vertical. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = 1}$$

**Asíntotas horizontales:** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 2x}{x - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} x = \pm\infty$$ Como el límite no es un número real finito, **no hay asíntotas horizontales**. **Asíntotas oblicuas ($y = mx + n$):** Dado que el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, existe una asíntota oblicua. $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x}{x^2 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2} = 1$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 - 2x}{x - 1} - x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x - x(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x - x^2 + x}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{x - 1} = -1$$ La ecuación de la asíntota oblicua es **$y = x - 1$**. 💡 **Tip:** También puedes obtener la oblicua realizando la división polinómica de $x^2 - 2x$ entre $x - 1$. El cociente es la asíntota. ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{y = x - 1}$$

**b) Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva $y = f(x)$ en los puntos $x = 0$ y $x = 2$. ¿Estas dos rectas son paralelas? Justifique la respuesta. [1 punto]** Primero, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x)(1)}{(x - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - 2x + 2 - x^2 + 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 2}{(x - 1)^2}$$ **Recta tangente en $x = 0$:** - Punto: $(0, f(0)) = (0, 0)$ - Pendiente: $m_1 = f'(0) = \frac{0^2 - 2(0) + 2}{(0 - 1)^2} = \frac{2}{1} = 2$ - Ecuación: $y - 0 = 2(x - 0) \implies \mathbf{y = 2x}$ **Recta tangente en $x = 2$:** - Punto: $(2, f(2)) = (2, 0)$ - Pendiente: $m_2 = f'(2) = \frac{2^2 - 2(2) + 2}{(2 - 1)^2} = \frac{2}{1} = 2$ - Ecuación: $y - 0 = 2(x - 2) \implies \mathbf{y = 2x - 4}$ **¿Son paralelas?** Sí, son paralelas porque tienen **la misma pendiente ($m_1 = m_2 = 2$)** y son rectas distintas. ✅ **Resultado (Tangentes):** $$\boxed{y = 2x \text{ e } y = 2x - 4; \text{ son paralelas por tener igual pendiente.}}$$

**c) ¿Hay algún punto donde la recta tangente a $f(x)$ tenga pendiente 1? En caso afirmativo, encuéntrelo. [0,5 puntos]** Buscamos los valores de $x$ tales que $f'(x) = 1$: $$\frac{x^2 - 2x + 2}{(x - 1)^2} = 1$$ $$x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2$$ Desarrollamos el binomio al cuadrado: $$x^2 - 2x + 2 = x^2 - 2x + 1$$ Restamos $x^2$ y sumamos $2x$ en ambos lados: $$2 = 1$$ Esta igualdad es una contradicción, lo que significa que la ecuación no tiene solución real. Por tanto, **no existe ningún punto** en la gráfica de $f(x)$ donde la recta tangente tenga pendiente 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún punto con pendiente 1.}}$$