Probabilidad y Estadística 2025 Canarias
Binomial y aproximación normal: intervalo de solicitudes y umbral de actuación
4B. El Instituto Canario de Estadística (ISTAC) se ha encargado de realizar un estudio multidisciplinar para optimizar la planificación de plazas en residencias universitarias de estudiantes de nuevo ingreso en las dos universidades públicas canarias (ULL y ULPGC).
Para ello, se ha llevado a cabo una encuesta a 1800 estudiantes de nuevo ingreso que provienen de islas no capitalinas, de los que el 27% de estos estudiantes solicitan plaza en una residencia universitaria.
a) [1,75 puntos] Comprobar si hay más de un 90% de posibilidades de recibir entre 460 y 510 solicitudes de plaza en una residencia de estudiantes de nuevo ingreso que provienen de islas diferentes a Tenerife y Gran Canaria.
b) [0,75 puntos] A partir de 525 solicitudes de alojamiento de estos estudiantes, las universidades deberían acometer la construcción de nuevas residencias universitarias. ¿Qué probabilidad hay de que deban adoptar esta medida?
Paso 1
Modelizar el número de solicitudes con una binomial
Sea $X$ el número de estudiantes (de los 1800 encuestados) que solicitan plaza.
Como cada estudiante solicita (sí/no) con probabilidad $p=0{,}27$, y suponemos independencia:
$$\boxed{X\sim\operatorname{Bin}(n=1800,\,p=0{,}27)}$$
Parámetros:
$$\mu=np=1800\cdot0{,}27=486,$$
$$\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{1800\cdot0{,}27\cdot0{,}73}\approx 18{,}84.$$
💡 **Tip:** En binomial, recuerda siempre $\mu=np$ y $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$.
Paso 2
Justificar la aproximación normal (si se usa)
Como $n$ es grande y
$$np=486\ge 5\quad\text{y}\quad n(1-p)=1800\cdot0{,}73=1314\ge 5,$$
se puede aproximar la binomial por una normal:
$$X\approx N(\mu=486,\,\sigma\approx 18{,}84).$$
Además, aplicaremos **corrección por continuidad**:
- $P(a\le X\le b)\approx P(a-0{,}5\le Y\le b+0{,}5)$ para $Y\sim N(\mu,\sigma)$.
💡 **Tip:** La corrección por continuidad mejora bastante el ajuste cuando se calcula probabilidad de intervalos o colas en binomial.
Paso 3
a) Probabilidad de recibir entre 460 y 510 solicitudes
**a) [1,75 puntos]** Queremos comprobar si
$$P(460\le X\le 510)\gt 0{,}90.$$
Con corrección por continuidad:
$$P(460\le X\le 510)\approx P(459{,}5\le Y\le 510{,}5),\quad Y\sim N(486,18{,}84).$$
Tipificamos con $Z=\dfrac{Y-\mu}{\sigma}$:
$$z_1=\frac{459{,}5-486}{18{,}84}\approx -1{,}41,$$
$$z_2=\frac{510{,}5-486}{18{,}84}\approx 1{,}30.$$
Entonces:
$$P(460\le X\le 510)\approx \Phi(1{,}30)-\Phi(-1{,}41).$$
Con tabla/calculadora:
$$\Phi(1{,}30)\approx 0{,}9032,\qquad \Phi(-1{,}41)\approx 0{,}0796,$$
por tanto:
$$P(460\le X\le 510)\approx 0{,}9032-0{,}0796=0{,}8236.$$
✅ Conclusión:
$$\boxed{P(460\le X\le 510)\approx 0{,}824\ \text{y no supera el }90\%\ (0{,}90).}$$
💡 **Tip:** Aunque el intervalo es “centrado” cerca de la media (486), su amplitud no es suficiente para llegar al 0,90.
Zona sombreada: probabilidad aproximada de estar entre 460 y 510.
Paso 4
b) Probabilidad de tener 525 o más solicitudes (umbral de construcción)
**b) [0,75 puntos]** La medida se adopta si hay **al menos 525** solicitudes:
$$P(X\ge 525).$$
Con corrección por continuidad:
$$P(X\ge 525)\approx P(Y\ge 524{,}5),\quad Y\sim N(486,18{,}84).$$
Tipificamos:
$$z=\frac{524{,}5-486}{18{,}84}\approx 2{,}04.$$
Entonces:
$$P(X\ge 525)\approx P(Z\ge 2{,}04)=1-\Phi(2{,}04).$$
Con tabla/calculadora:
$$\Phi(2{,}04)\approx 0{,}9795\Rightarrow P(X\ge 525)\approx 1-0{,}9795=0{,}0205.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{P(X\ge 525)\approx 0{,}020\ \text{(aprox. }2{,}0\%\text{)}}$$
💡 **Tip:** Una probabilidad del orden del 2\% indica que superar 525 solicitudes sería un escenario poco frecuente bajo este modelo.
Cola derecha: probabilidad aproximada de necesitar construir (≥ 525).