Probabilidad y Estadística 2025 Canarias
Test diagnóstico: teorema de Bayes, tabla de contingencia y falsos negativos esperados
4A. Se está desarrollando una prueba para detectar una enfermedad rara que afecta al 1\% de la población adulta. Se sabe que, la sensibilidad de la prueba (dar positivo cuando la persona está enferma) es del 95\%, y la especificidad de la prueba (dar negativo cuando la persona está sana) es del 98\%. Se selecciona al azar un individuo de la población:
a) [1,5 puntos] Si se somete a la prueba de diagnóstico, calcular la probabilidad de que esté realmente enfermo cuando la prueba da positivo.
b) [1 punto] Si una población de 35000 individuos se somete a la prueba, ¿podríamos afirmar que se espera que habrá más de 50 personas que estarán enfermas, aún cuando han obtenido un resultado negativo en el test?
Paso 1
Definir sucesos y construir el esquema (árbol/tabla) del test
Definimos los sucesos:
- $E$: “la persona está enferma”. Entonces $P(E)=0{,}01$.
- $S$: “la persona está sana”. Entonces $P(S)=0{,}99$.
- $+$: “test positivo”.
- $-$: “test negativo”.
Datos del test:
- **Sensibilidad**: $P(+\mid E)=0{,}95\Rightarrow P(-\mid E)=0{,}05$.
- **Especificidad**: $P(-\mid S)=0{,}98\Rightarrow P(+\mid S)=0{,}02$.
💡 **Tip:** Sensibilidad = “acierta cuando está enfermo”. Especificidad = “acierta cuando está sano”. Los errores son los complementarios.
Árbol de probabilidades del test diagnóstico.
Paso 2
a) Calcular P(E | +) con el teorema de Bayes
**a) [1,5 puntos]** Queremos la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo:
$$P(E\mid +)=\frac{P(E\cap +)}{P(+)}.$$
Calculamos las probabilidades conjuntas:
$$P(E\cap +)=P(E)\,P(+\mid E)=0{,}01\cdot 0{,}95=0{,}0095.$$
$$P(S\cap +)=P(S)\,P(+\mid S)=0{,}99\cdot 0{,}02=0{,}0198.$$
Entonces la probabilidad total de positivo es:
$$P(+)=P(E\cap +)+P(S\cap +)=0{,}0095+0{,}0198=0{,}0293.$$
Aplicamos Bayes:
$$P(E\mid +)=\frac{0{,}0095}{0{,}0293}=\frac{95}{293}\approx 0{,}3242.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{P(E\mid +)\approx 0{,}324\ \text{(32,4\%)}}$$
💡 **Tip:** En enfermedades raras, aunque el test sea bueno, los **falsos positivos** pueden pesar mucho porque hay muchísima más gente sana que enferma.
Paso 3
b) Falsos negativos esperados en 35000 pruebas
**b) [1 punto]** Nos piden si “se espera” que haya más de 50 personas enfermas **con test negativo**, es decir, **falsos negativos**.
Para una persona:
$$P(E\cap -)=P(E)\,P(-\mid E)=0{,}01\cdot 0{,}05=0{,}0005.$$
Si se hacen $n=35000$ pruebas, el número de falsos negativos $X$ puede modelarse como:
$$X\sim \operatorname{Bin}(35000,\ 0{,}0005).$$
El valor esperado es:
$$\mathbb{E}[X]=np=35000\cdot 0{,}0005=17{,}5.$$
✅ Conclusión:
- Como $17{,}5\lt 50$, **no** podemos afirmar que “se espera” más de 50.
$$\boxed{\mathbb{E}[X]=17{,}5\ \Rightarrow\ \text{no se esperan más de 50 falsos negativos}}$$
💡 **Tip:** “Se espera” significa **valor medio**. Podría ocurrir algún mes/día con más, pero el promedio teórico aquí es 17,5.