Recta y plano en el espacio: intersección, perpendicularidad y ángulo. Rectas coplanarias y plano contenedor

La recta $r$ es intersección de los planos $$P_1:x+y+z=0\quad (\vec n_1=(1,1,1)),\qquad P_2:2x-y+z=10\quad (\vec n_2=(2,-1,1)).$$ Un vector director de $r$ es $$\vec v_r=\vec n_1\times \vec n_2=(2,1,-3).$$ Hallamos un punto: resolvemos el sistema. Restando $P_2-P_1$: $$(2x-y+z)-(x+y+z)=10\Rightarrow x-2y=10\Rightarrow x=10+2y.$$ De $P_1$: $$(10+2y)+y+z=0\Rightarrow z=-10-3y.$$ Tomando $y=t$: $$r:(x,y,z)=(10,0,-10)+t(2,1,-3).$$ 💡 **Tip:** Cuando una recta viene como intersección de planos, $\vec v$ se obtiene con un producto vectorial de sus normales.

Sustituimos la parametrización de $r$ en el plano $\pi: x-y+2z-5=0$. Con $x=10+2t$, $y=t$, $z=-10-3t$: $$(10+2t)-t+2(-10-3t)-5=0$$ $$10+t-20-6t-5=0\Rightarrow -15-5t=0\Rightarrow t=-3.$$ Punto de intersección: $$I=(10+2(-3),\,-3,\,-10-3(-3))=(4,-3,-1).$$ ✅ Conclusión: $$\boxed{r\ \text{y}\ \pi\ \text{se cortan en}\ I(4,-3,-1)}$$ 💡 **Tip:** Si al sustituir aparece una ecuación con solución única en el parámetro, hay corte en un punto.

Queremos una recta $s$ que: - pase por $I$, - esté contenida en $\pi$ (su dirección $\perp$ a $\vec n_\pi$), - sea perpendicular a $r$ (su dirección $\perp$ a $\vec v_r$). Normal del plano: $$\vec n_\pi=(1,-1,2).$$ Una dirección que es perpendicular a $\vec n_\pi$ y a $\vec v_r$ es $$\vec v_s=\vec n_\pi\times \vec v_r=(1,7,3).$$ (Se verifica: $\vec v_s\cdot \vec n_\pi=0$ y $\vec v_s\cdot \vec v_r=0$). Entonces: $$\boxed{s:(x,y,z)=(4,-3,-1)+\lambda(1,7,3)}$$ 💡 **Tip:** “En el plano” + “perpendicular a una recta” se resuelve muy rápido con un producto vectorial: $\vec v_s=\vec n_\pi\times \vec v_r$.

El ángulo $\alpha$ entre una recta (dirección $\vec v$) y un plano (normal $\vec n$) cumple: $$\sin\alpha=\frac{|\vec v\cdot \vec n|}{\|\vec v\|\,\|\vec n\|}.$$ Con $\vec v_r=(2,1,-3)$ y $\vec n_\pi=(1,-1,2)$: $$\vec v_r\cdot\vec n_\pi=2\cdot1+1\cdot(-1)+(-3)\cdot2=2-1-6=-5\Rightarrow |\cdot|=5.$$ $$\|\vec v_r\|=\sqrt{2^2+1^2+(-3)^2}=\sqrt{14},\qquad \|\vec n_\pi\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{6}.$$ Por tanto: $$\sin\alpha=\frac{5}{\sqrt{14}\sqrt{6}}=\frac{5}{\sqrt{84}}.$$ ✅ Resultado: $$\boxed{\alpha=\arcsin\left(\frac{5}{\sqrt{84}}\right)\approx 33{,}1^\circ}$$ 💡 **Tip:** Si te sale el ángulo con la normal, recuerda que el ángulo recta-plano es el complementario.

Recta $r$: intersección de $$Q_1:x+y-2z=3\ (\vec n_1=(1,1,-2)),\qquad Q_2:2x+y-6z=2\ (\vec n_2=(2,1,-6)).$$ Vector director: $$\vec v_r=\vec n_1\times\vec n_2=(4,-2,1).$$ Un punto en $r$: restando $Q_2-Q_1$: $$x-4z=-1\Rightarrow x=4z-1,\qquad (4z-1)+y-2z=3\Rightarrow y=4-2z.$$ Tomando $z=t$: $$r:(x,y,z)=(-1,4,0)+t(4,-2,1).$$ Recta $s$: $$x-1=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{2}=u\Rightarrow (x,y,z)=(1,0,-1)+u(1,3,2).$$ 💡 **Tip:** Para coplanaridad conviene tener: un punto y un vector director de cada recta.

Tomamos: - Punto en $r$: $R_0=(-1,4,0)$ - Punto en $s$: $S_0=(1,0,-1)$ - $\vec v_r=(4,-2,1)$, $\vec v_s=(1,3,2)$ Vector entre puntos: $$\vec w=S_0-R_0=(2,-4,-1).$$ Calculamos $$\vec v_r\times \vec v_s=(4,-2,1)\times(1,3,2)=(-7,-7,14).$$ Producto mixto: $$\vec w\cdot(\vec v_r\times\vec v_s)=(2,-4,-1)\cdot(-7,-7,14)=-14+28-14=0.$$ ✅ Conclusión: $$\boxed{r\ \text{y}\ s\ \text{son coplanarias}}$$ 💡 **Tip:** Coplanarias $\Leftrightarrow$ el producto mixto vale $0$ (volumen del paralelepípedo nulo).

Un plano que contiene ambas rectas tiene como normal $$\vec n=\vec v_r\times\vec v_s=(-7,-7,14)\sim (1,1,-2).$$ Usamos el punto $R_0=(-1,4,0)$: $$(1,1,-2)\cdot\big((x,y,z)-(-1,4,0)\big)=0$$ $$(1,1,-2)\cdot(x+1,\ y-4,\ z)=0\Rightarrow (x+1)+(y-4)-2z=0$$ $$\boxed{x+y-2z=3}.$$ (De hecho, coincide con una de las ecuaciones que define a $r$, y se comprueba que $s$ la satisface.) ✅ Resultado: $$\boxed{\text{El plano que contiene a } r \text{ y } s \text{ es } x+y-2z=3.}$$ 💡 **Tip:** Si al final el plano coincide con uno de los planos que ya definían a $r$, basta verificar que $s$ también lo cumple.