Álgebra 2025 Canarias
Sistemas: mezcla de piensos y sistema matricial con matrices incógnita
2A. En la fabricación de piensos para peces en granjas acuícolas, es necesario equilibrar la cantidad de proteína, grasa y carbohidratos. Una empresa dedicada a los piensos para peces utiliza tres tipos principales de materias primas, las cuales proporcionan diferentes cantidades de proteína, grasa y carbohidratos. Las materias primas son: subproductos vegetales que contienen un 20% de proteína, un 10% de grasa y un 10% de carbohidratos; harinas que aportan un 40% de proteínas, un 20% de grasa y un 30% de carbohidratos; y subproductos cárnicos que aportan un 60%, 10% y 30% respectivamente.
Esta empresa productora está preparando 1000 kg de pienso que han de contener un 36% de proteína, un 12% de grasa y un 20% de carbohidratos. ¿Qué cantidad de cada materia prima se ha de utilizar para obtener el pienso con las características indicadas?
2B. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:
$$\begin{cases}
4X-5Y=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}-9&-4&-6\\17&3&13\end{pmatrix},\\
6X+4Y=\begin{pmatrix}10&4&-10\\12&10&22\end{pmatrix}.
\end{cases}$$
Paso 1
Planteamiento: variables y traducción a ecuaciones (2A y 2B)
**2A.** Esta empresa productora está preparando 1000 kg de pienso que han de contener un 36% de proteína, un 12% de grasa y un 20% de carbohidratos. ¿Qué cantidad de cada materia prima se ha de utilizar para obtener el pienso con las características indicadas?
**2B.** Resolver el sistema de ecuaciones matriciales dado.
Empezamos con **2A**.
Sea:
- $x$ = kg de **subproductos vegetales**
- $y$ = kg de **harinas**
- $z$ = kg de **subproductos cárnicos**
La mezcla total es de 1000 kg:
$$x+y+z=1000.$$
Objetivos (en kg de nutriente):
- Proteína: $36\%$ de 1000 kg $\Rightarrow 360$ kg.
- Grasa: $12\%$ de 1000 kg $\Rightarrow 120$ kg.
- Carbohidratos: $20\%$ de 1000 kg $\Rightarrow 200$ kg.
Sistema (porcentaje en tanto por uno):
$$\begin{cases}
x+y+z=1000\\
0{,}20x+0{,}40y+0{,}60z=360\\
0{,}10x+0{,}20y+0{,}10z=120\\
0{,}10x+0{,}30y+0{,}30z=200
\end{cases}$$
💡 **Tip:** Cuando aparecen decimales, multiplica la ecuación por 10 o 100 para evitar operar con coma.
Paso 2
2A: Resolver el sistema (eliminación)
Usamos primero la ecuación de la **grasa** y quitamos decimales multiplicando por 10:
$$0{,}10x+0{,}20y+0{,}10z=120\ \Rightarrow\ x+2y+z=1200.$$
Restamos la ecuación total $x+y+z=1000$:
$$(x+2y+z)-(x+y+z)=1200-1000\Rightarrow y=200.$$
Ahora, con la ecuación total:
$$x+200+z=1000\Rightarrow x+z=800.$$
Usamos la ecuación de **proteína**:
$$0{,}20x+0{,}40(200)+0{,}60z=360$$
$$0{,}20x+80+0{,}60z=360\Rightarrow 0{,}20x+0{,}60z=280.$$
Multiplicamos por 10:
$$2x+6z=2800\Rightarrow x+3z=1400.$$
Resolvemos el sistema de 2 ecuaciones:
$$\begin{cases}
x+z=800\\
x+3z=1400
\end{cases}$$
Restando: $(x+3z)-(x+z)=1400-800\Rightarrow 2z=600\Rightarrow z=300$.
Entonces:
$$x=800-z=800-300=500.$$
✅ **Cantidades (kg):**
$$\boxed{x=500,\quad y=200,\quad z=300}$$
💡 **Tip:** En problemas de mezcla, una ecuación suele “caer” muy fácil al restarla con la total (aquí sale $y$ directo).
Paso 3
2A: Comprobación y visualización (reducción a 2 variables)
Comprobamos carbohidratos:
$$0{,}10(500)+0{,}30(200)+0{,}30(300)=50+60+90=200.$$
Coincide.
✅ **Respuesta final (2A):**
$$\boxed{\text{Vegetales: }500\ \text{kg}\quad \text{Harinas: }200\ \text{kg}\quad \text{Cárnicos: }300\ \text{kg}}$$
💡 **Tip:** Si añades la ecuación $z=1000-x-y$, el problema se reduce a dos variables $(x,y)$; así puedes ver el cruce de rectas en el plano.
Paso 4
2B: Calcular el término de la primera ecuación (producto $A^{-1}B$)
En **2B** tenemos un sistema con matrices incógnita $X$ e $Y$ (de tamaño $2\times 3$):
$$\begin{cases}
4X-5Y=A^{-1}B,\\
6X+4Y=D
\end{cases}$$
donde
$$A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}-9&-4&-6\\17&3&13\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}10&4&-10\\12&10&22\end{pmatrix}.$$
Calculamos $A^{-1}$. Como
$$\det(A)=1\cdot 2-(-1)(-1)=2-1=1,$$
se tiene
$$A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}.$$
Ahora calculamos $C=A^{-1}B$:
$$C=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-9&-4&-6\\17&3&13\end{pmatrix}.$$
Fila 1: $2\cdot(-9,-4,-6)+(17,3,13)=(-18,-8,-12)+(17,3,13)=(-1,-5,1)$.
Fila 2: $(-9,-4,-6)+(17,3,13)=(8,-1,7)$.
Por tanto:
$$\boxed{C=A^{-1}B=\begin{pmatrix}-1&-5&1\\8&-1&7\end{pmatrix}}$$
💡 **Tip:** Se resuelve igual que un sistema “normal”: como los coeficientes son escalares, puedes sumar/restar ecuaciones y despejar, pero trabajando con matrices.
Paso 5
2B: Resolver el sistema para $Y$ y después para $X$
Ya podemos escribir:
$$\begin{cases}
4X-5Y=C\\
6X+4Y=D
\end{cases}$$
Despejamos $X$ de la primera:
$$4X=C+5Y\Rightarrow X=\frac{C+5Y}{4}.$$
Sustituimos en la segunda:
$$6\cdot\frac{C+5Y}{4}+4Y=D.$$
Multiplicamos por 4:
$$6(C+5Y)+16Y=4D\Rightarrow 6C+46Y=4D.$$
Luego:
$$Y=\frac{4D-6C}{46}=\frac{2D-3C}{23}.$$
Calculamos:
$$2D=\begin{pmatrix}20&8&-20\\24&20&44\end{pmatrix},\quad 3C=\begin{pmatrix}-3&-15&3\\24&-3&21\end{pmatrix}.$$
$$2D-3C=\begin{pmatrix}23&23&-23\\0&23&23\end{pmatrix}$$
y por tanto:
$$\boxed{Y=\frac{1}{23}\begin{pmatrix}23&23&-23\\0&23&23\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}}$$
Ahora hallamos $X$:
$$X=\frac{C+5Y}{4}.$$
Como
$$5Y=\begin{pmatrix}5&5&-5\\0&5&5\end{pmatrix},$$
entonces
$$C+5Y=\begin{pmatrix}-1&-5&1\\8&-1&7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5&5&-5\\0&5&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0&-4\\8&4&12\end{pmatrix}.$$
Dividimos entre 4:
$$\boxed{X=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}4&0&-4\\8&4&12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&1&3\end{pmatrix}}$$
✅ **Respuesta final (2B):**
$$\boxed{X=\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&1&3\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}1&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}}$$
💡 **Tip:** Fíjate en que al final aparecen divisiones exactas (todo queda entero). Eso suele ser una señal de que no te has equivocado con signos.
Paso 6
2B: Verificación rápida
Comprobamos sustituyendo en ambas ecuaciones.
1) $4X-5Y$:
$$4X=\begin{pmatrix}4&0&-4\\8&4&12\end{pmatrix},\quad 5Y=\begin{pmatrix}5&5&-5\\0&5&5\end{pmatrix}$$
$$4X-5Y=\begin{pmatrix}-1&-5&1\\8&-1&7\end{pmatrix}=C.$$
2) $6X+4Y$:
$$6X=\begin{pmatrix}6&0&-6\\12&6&18\end{pmatrix},\quad 4Y=\begin{pmatrix}4&4&-4\\0&4&4\end{pmatrix}$$
$$6X+4Y=\begin{pmatrix}10&4&-10\\12&10&22\end{pmatrix}=D.$$
✅ Verifica correctamente.
💡 **Tip:** Verificar al final evita errores típicos de signo y de multiplicación matriz-escala.