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Modelo logístico: población inicial, tasas medias, crecimiento acotado y mitad de la capacidad
1. El modelo logístico es un modelo matemático utilizado para describir la evolución de una población a lo largo del tiempo, cuando los recursos son limitados. Es uno de los modelos matemáticos más comunes en biología y describe cómo la población se estabiliza cuando alcanza la capacidad de carga del entorno, esto es, el tamaño máximo que puede alcanzar una población antes de que los recursos se vuelvan insuficientes, lo que genera competencia y, en muchos casos, una desaceleración de la tasa de crecimiento o una crisis en la población.
Un ejemplo de modelo logístico lo encontramos en las colonias de hormigas, que están compuestas por una red de túneles, entradas, cámaras de cría y áreas de almacenamiento, donde las hormigas establecen su hábitat.
Un grupo de investigadores ha estudiado el momento en el que unas hormigas forman una nueva colonia y ha modelizado el número de hormigas $H(t)$ después de $t$ meses con la función:
$$H(t)=\frac{6400}{1+159\,e^{-0.5t}}$$
**a) [0,25 puntos]** ¿Cuántas hormigas formaron la nueva colonia inicialmente?
**b) [0,75 puntos]** ¿Cuál es la tasa media de crecimiento el primer año? ¿Y el segundo año? Interpretar el resultado.
**c) [0,75 puntos]** Un observador afirma que el modelo siempre es creciente y entiende que la población de hormigas crece sin control. Justificar matemáticamente si esta afirmación es o no correcta.
**d) [0,75 puntos]** ¿En qué momento la colonia de hormigas alcanzará la mitad de su capacidad de carga?
Paso 1
Identificar el modelo y lo que significa cada dato
La población viene dada por
$$H(t)=\frac{6400}{1+159\,e^{-0.5t}},\quad t\ \text{en meses}.$$
- La **capacidad de carga** (límite máximo) es $6400$ (numerador).
- El término $e^{-0.5t}$ hace que, al crecer $t$, el denominador tienda a $1$ y la población se estabilice.
💡 **Tip:** En un modelo logístico típico $H(t)=\dfrac{K}{1+A e^{-rt}}$, el máximo es $K$.
Paso 2
a) Población inicial
**a) [0,25 puntos]** Inicialmente corresponde a $t=0$.
$$H(0)=\frac{6400}{1+159\,e^{0}}=\frac{6400}{1+159}=\frac{6400}{160}=40.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{H(0)=40\ \text{hormigas}}$$
💡 **Tip:** En modelos en función del tiempo, “inicialmente” suele ser $t=0$.
Paso 3
b) Tasa media de crecimiento en el primer y segundo año
**b) [0,75 puntos]** La tasa media de crecimiento en un intervalo $[a,b]$ es:
$$\text{Tasa media} = \frac{H(b)-H(a)}{b-a}.$$
Como $t$ está en **meses**, un año son **12 meses**.
### Primer año: de 0 a 12 meses
Calculamos $H(12)$:
$$H(12)=\frac{6400}{1+159e^{-0.5\cdot 12}}=\frac{6400}{1+159e^{-6}}\approx 4590{,}70.$$
Tasa media (hormigas/mes):
$$\frac{H(12)-H(0)}{12}=\frac{4590{,}70-40}{12}\approx 379{,}23.$$
### Segundo año: de 12 a 24 meses
Calculamos $H(24)$:
$$H(24)=\frac{6400}{1+159e^{-0.5\cdot 24}}=\frac{6400}{1+159e^{-12}}\approx 6393{,}75.$$
Tasa media (hormigas/mes):
$$\frac{H(24)-H(12)}{12}=\frac{6393{,}75-4590{,}70}{12}\approx 150{,}25.$$
✅ Resultados:
$$\boxed{\text{1er año: }\approx 379{,}23\ \text{hormigas/mes}}$$
$$\boxed{\text{2º año: }\approx 150{,}25\ \text{hormigas/mes}}$$
🧠 **Interpretación:** La tasa media **disminuye** el segundo año porque la colonia se va acercando a su capacidad de carga ($6400$) y el crecimiento se frena.
💡 **Tip:** Puedes expresar también por año: 1er año $\approx 4550{,}70$ hormigas/año y 2º año $\approx 1803{,}05$ hormigas/año.
Esquema (aprox.): crecimiento logístico, frenándose al acercarse a 6400.
Paso 4
c) ¿Es creciente? ¿Crece sin control?
**c) [0,75 puntos]**
### (i) El modelo es creciente
Derivamos:
$$H(t)=6400\,(1+159e^{-0.5t})^{-1}.$$
$$H'(t)=6400\cdot(-1)(1+159e^{-0.5t})^{-2}\cdot 159\cdot(-0.5)e^{-0.5t}.$$
Simplificando:
$$H'(t)=\frac{6400\cdot159\cdot0.5\,e^{-0.5t}}{(1+159e^{-0.5t})^2}.$$
Como $e^{-0.5t}\gt 0$ y el denominador es positivo, se cumple:
$$H'(t)\gt 0\ \ \forall t,$$
por tanto $H$ es **estrictamente creciente**.
### (ii) No crece sin control (está acotada)
Calculamos el límite cuando $t\to +\infty$:
$$\lim_{t\to +\infty}H(t)=\frac{6400}{1+159\cdot 0}=6400.$$
✅ Conclusión:
- Es cierto que **siempre crece**.
- Es falso que crezca “sin control”: la población **se estabiliza** y se aproxima a $6400$.
💡 **Tip:** En logística, el crecimiento se frena porque el término $e^{-rt}$ hace que el denominador tienda a 1, dejando como techo a $K$.
Paso 5
d) Momento en que alcanza la mitad de la capacidad de carga
**d) [0,75 puntos]** La mitad de la capacidad de carga es:
$$\frac{6400}{2}=3200.$$
Resolvemos $H(t)=3200$:
$$3200=\frac{6400}{1+159e^{-0.5t}}$$
$$1+159e^{-0.5t}=2$$
$$159e^{-0.5t}=1$$
$$e^{-0.5t}=\frac{1}{159}$$
Tomamos logaritmos:
$$-0.5t=\ln\left(\frac{1}{159}\right)=-\ln(159)$$
$$t=2\ln(159).$$
✅ Resultado:
$$\boxed{t=2\ln(159)\approx 10{,}14\ \text{meses}}$$
💡 **Tip:** En modelos logísticos, la mitad de la capacidad suele coincidir con un “punto de inflexión” (máxima velocidad instantánea de crecimiento).