Probabilidad y Estadística 2025 Canarias
Árbol de probabilidad: elección de cajas, extracción en urna y probabilidad condicionada
4A. En una feria, un participante tiene la oportunidad de ganar premios eligiendo entre tres cajas sorpresa: una con premio y dos vacías. Hay una regla especial si se selecciona una caja vacía:
En caso de elegir una caja sin premio, se debe extraer una bola al azar de una urna compuesta por 2 bolas verdes y 3 negras, de idéntica forma y tamaño. Si se elige la bola negra, finaliza la jugada sin premio. Si se elige la bola verde, tendrá la oportunidad de elegir una nueva caja, de las dos cajas no seleccionadas anteriormente, y acabaría la jugada.
Responder a las siguientes cuestiones:
a) [0,5 puntos] Dibujar un diagrama de árbol que refleje todos los posibles casos de este juego.
b) [1 punto] Calcular la probabilidad de obtener premio en este juego.
c) [1 punto] Si el participante ha obtenido premio, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido una bola verde en la urna?
Paso 1
Definir el experimento y las probabilidades básicas
Hay **3 cajas**: 1 con premio y 2 vacías.
- Primera elección:
- Caja con premio: $P(C)=\dfrac{1}{3}$.
- Caja vacía: $P(V)=\dfrac{2}{3}$.
Si sale caja vacía, se extrae una bola de una urna con **2 verdes** y **3 negras**:
- Verde: $P(\text{Verde})=\dfrac{2}{5}$.
- Negra: $P(\text{Negra})=\dfrac{3}{5}$.
Si sale **Verde**, se elige una nueva caja entre las **2 no elegidas**. Como la primera era vacía, entre esas 2 queda:
- 1 caja con premio
- 1 caja vacía
Por tanto, en esa segunda elección:
$$P(\text{premio en 2ª elección}\mid \text{Verde y primera vacía})=\frac{1}{2}.$$
💡 **Tip:** En un árbol, la probabilidad de un camino es el **producto** de las probabilidades de sus ramas.
Paso 2
a) Diagrama de árbol con todos los casos
**a) [0,5 puntos]** El árbol de sucesos queda:
- Primera caja: premio ($1/3$) o vacía ($2/3$)
- Si vacía: bola negra ($3/5$) o verde ($2/5$)
- Si verde: segunda caja premio ($1/2$) o vacía ($1/2$)
💡 **Tip:** Para “ver” todos los casos, asegúrate de que cada rama termina en **Gana** o **Pierde**.
Paso 3
b) Probabilidad total de obtener premio
**b) [1 punto]** Se gana premio en dos situaciones:
1) Elegir directamente la caja con premio:
$$P(\text{premio por 1ª caja})=\frac{1}{3}.$$
2) Elegir una vacía, sacar verde y luego elegir la caja con premio:
$$P(V\cap \text{Verde}\cap \text{premio en 2ª})=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}.$$
Calculamos:
$$\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{15}.$$
Probabilidad total:
$$P(\text{premio})=\frac{1}{3}+\frac{2}{15}=\frac{5}{15}+\frac{2}{15}=\frac{7}{15}.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{P(\text{obtener premio})=\frac{7}{15}\approx 0{,}4667}$$
💡 **Tip:** Esta es una aplicación directa de la **regla de la probabilidad total**: suma de probabilidades de caminos disjuntos que llevan a “premio”.
Paso 4
c) Probabilidad de haber sacado verde sabiendo que se obtuvo premio
**c) [1 punto]** Queremos:
$$P(\text{Verde}\mid \text{Premio}).$$
Usamos probabilidad condicionada:
$$P(\text{Verde}\mid \text{Premio})=\frac{P(\text{Verde}\cap \text{Premio})}{P(\text{Premio})}.$$
- Para ganar premio **sacando verde**, necesariamente se ha dado el camino:
$$V\rightarrow \text{Verde}\rightarrow \text{premio en 2ª}.$$
Luego:
$$P(\text{Verde}\cap \text{Premio})=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{15}.$$
- Ya tenemos:
$$P(\text{Premio})=\frac{7}{15}.$$
Entonces:
$$P(\text{Verde}\mid \text{Premio})=\frac{\frac{2}{15}}{\frac{7}{15}}=\frac{2}{7}.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{P(\text{Verde}\mid \text{Premio})=\frac{2}{7}\approx 0{,}2857}$$
💡 **Tip:** Fíjate en que ganar premio **no siempre** implica haber ido a la urna (si se acierta a la primera, no hay bola). Por eso la probabilidad no es alta.