Probabilidad y Estadística 2025 Canarias
Probabilidad con distribución normal: condiciones ideales, insolación y cambios bruscos
4B. La temperatura diurna en el Parque Nacional de las Cañadas del Teide durante el mes de agosto sigue una distribución normal. La temperatura media durante el día es de 22°C con desviación típica de 5°C. Además, se sabe que, las condiciones ideales para realizar senderismo es cuando la temperatura diurna se sitúa entre 18°C y 25°C. Si se superan los 30°C, los excursionistas tendrían un riesgo elevado de insolación. Mientras que, si la temperatura se sitúa por debajo de los 15°C, existe riesgo de cambios meteorológicos bruscos previstos para ese día.
Se está elaborando una guía informativa para los servicios de emergencia. Responder a lo siguiente:
a) [0,75 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que un día de agosto se den las condiciones ideales para realizar senderismo?
b) [0,75 puntos] ¿Cuántos días de agosto se espera que haya senderistas con riesgo de insolación?
c) [1 punto] Si las Cañadas del Teide recibe un promedio de 11000 visitantes diarios en el mes de agosto y, de ellos, un 5% realiza senderismo. ¿Cuántos senderistas se estima que se puedan ver afectados por cambios meteorológicos bruscos a lo largo de dicho mes?
Paso 1
Modelizar la temperatura como variable normal
Sea $T$ la temperatura diurna (en °C) de un día de agosto.
Del enunciado:
$$\boxed{T\sim\mathcal N(\mu=22,\,\sigma=5)}$$
Usaremos la tipificación:
$$Z=\frac{T-\mu}{\sigma}=\frac{T-22}{5}\sim\mathcal N(0,1).$$
💡 **Tip:** Convertir a $Z$ permite leer probabilidades en la tabla de la normal estándar (o con calculadora).
Paso 2
a) Probabilidad de condiciones ideales (18°C a 25°C)
**a) [0,75 puntos]** Condiciones ideales: $18\le T\le 25$.
Tipificamos los extremos:
$$z_1=\frac{18-22}{5}=-0{,}8,\qquad z_2=\frac{25-22}{5}=0{,}6.$$
Entonces:
$$P(18\le T\le 25)=P(-0{,}8\le Z\le 0{,}6)=\Phi(0{,}6)-\Phi(-0{,}8).$$
Usando simetría $\Phi(-a)=1-\Phi(a)$:
$$\Phi(0{,}6)-\Phi(-0{,}8)=\Phi(0{,}6)+\Phi(0{,}8)-1.$$
Con valores de tabla/calculadora:
$$\Phi(0{,}6)\approx 0{,}7257,\qquad \Phi(0{,}8)\approx 0{,}7881,$$
por tanto:
$$P(18\le T\le 25)\approx 0{,}7257+0{,}7881-1=0{,}5138.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{P(18\le T\le 25)\approx 0{,}514\ \text{(51,4\%)}}$$
💡 **Tip:** Si usas tabla de $\Phi(z)$ (acumulada), recuerda que $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$. Esto evita buscar valores negativos.
Esquema: región de “condiciones ideales” bajo la normal tipificada.
Paso 3
b) Días esperados con riesgo de insolación (T > 30°C)
**b) [0,75 puntos]** Riesgo elevado de insolación si $T>30$.
Tipificamos:
$$z=\frac{30-22}{5}=1{,}6.$$
Entonces:
$$P(T>30)=P(Z>1{,}6)=1-\Phi(1{,}6).$$
Con tabla/calculadora:
$$\Phi(1{,}6)\approx 0{,}9452\Rightarrow P(T>30)\approx 1-0{,}9452=0{,}0548.$$
Agosto tiene 31 días, así que el número **esperado** de días con riesgo es:
$$31\cdot 0{,}0548\approx 1{,}70.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{\text{Se esperan }\approx 1{,}7\text{ días (aprox. 2 días) con riesgo de insolación.}}$$
💡 **Tip:** “Se espera” se interpreta como **valor medio** (no tiene por qué ser un número entero).
Paso 4
c) Senderistas afectados por cambios bruscos (T < 15°C) durante el mes
**c) [1 punto]** Hay riesgo de cambios meteorológicos bruscos si $T<15$.
Probabilidad diaria:
$$z=\frac{15-22}{5}=-1{,}4,$$
$$P(T<15)=P(Z<-1{,}4)=\Phi(-1{,}4)=1-\Phi(1{,}4).$$
Con tabla/calculadora:
$$\Phi(1{,}4)\approx 0{,}9192\Rightarrow P(T<15)\approx 1-0{,}9192=0{,}0808.$$
Senderistas diarios: el 5% de 11000:
$$11000\cdot 0{,}05=550\text{ senderistas/día}.$$
Senderistas esperados afectados en todo agosto (31 días):
$$31\cdot 550\cdot 0{,}0808\approx 1376{,}9.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{\text{Se estiman }\approx 1377\text{ senderistas afectados durante el mes.}}$$
💡 **Tip:** Este cálculo supone que cada día tiene la misma distribución de temperaturas y que el número de senderistas diarios es estable (se trabaja con promedios).