Rectas en el espacio: pertenencia, intersección, distancia y ángulo. Recta y plano: posición relativa y simetría

**a) [0,25 puntos] Comprobar que $P\in r_1$ y que $P\notin r_2$** La recta $r_1$ está dada como intersección de dos planos: $$r_1:\begin{cases}4x+3y-3z=2\\2x-3y-6z=1\end{cases}$$ Para comprobar si $P(2,-1,1)\in r_1$, sustituimos $x=2$, $y=-1$, $z=1$ en **ambas** ecuaciones. 1) En $4x+3y-3z=2$: $$4\cdot2+3\cdot(-1)-3\cdot1=8-3-3=2.$$ Se cumple. 2) En $2x-3y-6z=1$: $$2\cdot2-3\cdot(-1)-6\cdot1=4+3-6=1.$$ También se cumple. Por tanto, $$\boxed{P\in r_1}$$ 💡 **Tip:** Si una recta está dada como intersección de planos, un punto pertenece a la recta si verifica **todas** las ecuaciones.

La recta $$r_2:\frac{x+3}{2}=2-y=\frac{z+4}{3}$$ impone que las tres expresiones sean iguales. Calculamos esas tres expresiones en $P(2,-1,1)$: - $$\frac{x+3}{2}=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}.$$ - $$2-y=2-(-1)=3.$$ - $$\frac{z+4}{3}=\frac{1+4}{3}=\frac{5}{3}.$$ Como $$\frac{5}{2}\neq 3\neq \frac{5}{3},$$ no pueden ser iguales simultáneamente. Luego, $$\boxed{P\notin r_2}$$ 💡 **Tip:** En una recta en forma simétrica, para pertenecer deben coincidir **todas** las igualdades (si falla una, ya no pertenece).

**b) [1 punto] Hallar la distancia entre el punto $P$ y el punto de intersección de las rectas $r_1$ y $r_2$** Primero hallamos el punto de intersección $I=r_1\cap r_2$. Parametrizamos $r_2$ tomando $$\frac{x+3}{2}=2-y=\frac{z+4}{3}=t.$$ Entonces: $$x+3=2t\Rightarrow x=2t-3,$$ $$2-y=t\Rightarrow y=2-t,$$ $$z+4=3t\Rightarrow z=3t-4.$$ Sustituimos estas expresiones en las ecuaciones de $r_1$. 1) En $4x+3y-3z=2$: $$4(2t-3)+3(2-t)-3(3t-4)=2$$ $$8t-12+6-3t-9t+12=2$$ $$(-4)t+6=2\Rightarrow -4t=-4\Rightarrow t=1.$$ 2) En $2x-3y-6z=1$ (comprobación): $$2(2t-3)-3(2-t)-6(3t-4)=1$$ $$4t-6-6+3t-18t+24=1$$ $$(-11)t+12=1\Rightarrow -11t=-11\Rightarrow t=1.$$ Con $t=1$: $$I=(x,y,z)=(-1,\,1,\,-1).$$ ✅ Punto de intersección: $$\boxed{r_1\cap r_2=\{(-1,1,-1)\}}$$ 💡 **Tip:** Para cortar una recta dada por planos con otra recta, suele ser muy cómodo parametrizar una y sustituir en las ecuaciones de la otra.

La distancia entre dos puntos $P(2,-1,1)$ e $I(-1,1,-1)$ es: $$\operatorname{dist}(P,I)=\sqrt{(2-(-1))^2+(-1-1)^2+(1-(-1))^2}.$$ Calculamos las diferencias: $$2-(-1)=3,\qquad -1-1=-2,\qquad 1-(-1)=2.$$ Entonces: $$\operatorname{dist}(P,I)=\sqrt{3^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{9+4+4}=\sqrt{17}.$$ ✅ Distancia pedida: $$\boxed{\operatorname{dist}(P,\,r_1\cap r_2)=\sqrt{17}}$$

**c) [1,25 puntos] Hallar el ángulo con el que se cortan las rectas $r_1$ y $r_2$** El ángulo entre dos rectas que se cortan es el ángulo entre sus **vectores directores**. - De $r_2$ parametrizada antes: $$r_2:(x,y,z)=(2t-3,\,2-t,\,3t-4),$$ un vector director es $$\vec v_2=(2,-1,3).$$ - La recta $r_1$ es intersección de planos con normales $$\vec n_1=(4,3,-3),\qquad \vec n_2=(2,-3,-6).$$ Un vector director de la recta intersección es el producto vectorial: $$\vec v_1=\vec n_1\times \vec n_2= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 4 & 3 & -3\\ 2 & -3 & -6 \end{vmatrix}.$$ Calculamos componente a componente: - Componente $x$: $$3\cdot(-6)-(-3)\cdot(-3)=-18-9=-27.$$ - Componente $y$: $$-\big(4\cdot(-6)-(-3)\cdot2\big)=-\big(-24-(-6)\big)=-(-18)=18.$$ - Componente $z$: $$4\cdot(-3)-3\cdot2=-12-6=-18.$$ Así, $$\vec v_1=(-27,18,-18)= -9(3,-2,2).$$ Podemos tomar el más simple: $$\vec v_1=(3,-2,2).$$ El ángulo $\theta$ cumple: $$\cos\theta=\frac{|\vec v_1\cdot \vec v_2|}{\|\vec v_1\|\,\|\vec v_2\|}.$$ Producto escalar: $$\vec v_1\cdot\vec v_2=3\cdot2+(-2)\cdot(-1)+2\cdot3=6+2+6=14.$$ Módulos: $$\|\vec v_1\|=\sqrt{3^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{17},\qquad \|\vec v_2\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{14}.$$ Entonces: $$\cos\theta=\frac{14}{\sqrt{17}\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{17}}=\sqrt{\frac{14}{17}}.$$ ✅ Ángulo de corte: $$\boxed{\theta=\arccos\left(\sqrt{\frac{14}{17}}\right)\approx 24{,}35^\circ}$$ 💡 **Tip:** El ángulo entre rectas es el ángulo entre sus vectores directores. Para evitar ángulos obtusos, se usa valor absoluto en el numerador.

**3B a) [1 punto] Hallar la posición relativa del plano $\pi$ y la recta $r$.** La recta $r$ viene como intersección de planos: $$r:\begin{cases}4x-7y+2z=7\\y-2z+5=0\end{cases}$$ De la segunda ecuación: $$y-2z+5=0\Rightarrow y=2z-5.$$ Sustituimos en la primera: $$4x-7(2z-5)+2z=7$$ $$4x-14z+35+2z=7$$ $$4x-12z=-28\Rightarrow x=3z-7.$$ Tomamos $z=t$ como parámetro: $$r:(x,y,z)=(3t-7,\,2t-5,\,t).$$ Así, un vector director es $$\vec v=(3,2,1).$$ El plano $$\pi:-x+2y+z+1=0$$ tiene vector normal $$\vec n_\pi=(-1,2,1).$$ 💡 **Tip:** Para decidir si una recta es paralela a un plano, se comprueba si su vector director es perpendicular al normal del plano (producto escalar cero).

Calculamos el producto escalar: $$\vec v\cdot\vec n_\pi=(3,2,1)\cdot(-1,2,1)=-3+4+1=2\neq 0.$$ Como no es cero, la recta **no es paralela** al plano. Por tanto, la recta y el plano **se cortan en un único punto**. Hallamos el punto de corte sustituyendo la parametrización de $r$ en la ecuación del plano: En $\pi:-x+2y+z+1=0$, con $x=3t-7$, $y=2t-5$, $z=t$: $$-(3t-7)+2(2t-5)+t+1=0$$ $$-3t+7+4t-10+t+1=0$$ $$(2t)-2=0\Rightarrow t=1.$$ Punto de corte: $$S=(3\cdot1-7,\,2\cdot1-5,\,1)=(-4,-3,1).$$ ✅ Posición relativa y punto: $$\boxed{r\ \text{corta a}\ \pi\ \text{en el punto}\ S(-4,-3,1)}$$ 💡 **Tip:** Si $\vec v\cdot\vec n_\pi\neq 0$, la recta corta al plano. Si además un punto de la recta no cumple la ecuación del plano, entonces no está contenida (y el corte es único).

**3B b) [1,5 puntos] Hallar el punto simétrico de $A$ con respecto del plano $\pi$.** Para reflejar un punto respecto de un plano: 1) Trazamos la recta perpendicular al plano que pasa por el punto. 2) Hallamos su intersección $M$ con el plano. 3) Ese punto $M$ es el **punto medio** del segmento que une $A$ con su simétrico $A'$. El plano $\pi$ tiene normal $\vec n_\pi=(-1,2,1)$, así que la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $A(1,0,2)$ es: $$\ell:(x,y,z)=(1,0,2)+\lambda(-1,2,1),\quad \lambda\in\mathbb{R}.$$ Es decir: $$x=1-\lambda,\qquad y=2\lambda,\qquad z=2+\lambda.$$ Buscamos $M=\ell\cap\pi$ sustituyendo en $-x+2y+z+1=0$: $$-(1-\lambda)+2(2\lambda)+(2+\lambda)+1=0$$ $$-1+\lambda+4\lambda+2+\lambda+1=0$$ $$6\lambda+2=0\Rightarrow \lambda=-\frac{1}{3}.$$ Entonces: $$M=\left(1-\left(-\frac{1}{3}\right),\ 2\left(-\frac{1}{3}\right),\ 2+\left(-\frac{1}{3}\right)\right)=\left(\frac{4}{3},-\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right).$$ 💡 **Tip:** En una simetría respecto de un plano, el punto $M=\ell\cap\pi$ es el **punto medio** del segmento $AA'$.

Si $M$ es el punto medio de $AA'$, entonces: $$M=\frac{A+A'}{2}\quad\Rightarrow\quad A'=2M-A.$$ Calculamos: $$2M=2\left(\frac{4}{3},-\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right)=\left(\frac{8}{3},-\frac{4}{3},\frac{10}{3}\right).$$ Restamos $A(1,0,2)$: $$A'=\left(\frac{8}{3}-1,\ -\frac{4}{3}-0,\ \frac{10}{3}-2\right)=\left(\frac{5}{3},-\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right).$$ ✅ Punto simétrico: $$\boxed{A'\left(\frac{5}{3},-\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)}$$ 💡 **Tip:** Para verificar rápido: comprueba que $M$ cumple la ecuación del plano $\pi$ y que $\overrightarrow{AM}$ es paralelo al normal del plano.