Matrices con parámetro: inversa, ecuación matricial, rango y potencias

**2A a) [1 punto] Para cualquier valor del parámetro $a$: comprobar que $M$ es invertible y dar la expresión de $M^{-1}$.** Una matriz $2\times 2$ es invertible si y solo si su determinante es distinto de $0$. Para $$M=\begin{pmatrix}1 & a-3\\ -1 & 2-a\end{pmatrix},$$ calculamos: $$\det(M)=1\cdot(2-a)-(a-3)\cdot(-1)=(2-a)+(a-3)=-1.$$ Como $$\det(M)=-1\neq 0,$$ se concluye que **$M$ es invertible para todo $a\in\mathbb{R}$**. 💡 **Tip:** Antes de intentar hallar $M^{-1}$, comprueba siempre que $\det(M)\neq 0$.

Para una matriz $\begin{pmatrix}p & q\\ r & s\end{pmatrix}$, $$\left(\begin{pmatrix}p & q\\ r & s\end{pmatrix}\right)^{-1}=\frac{1}{ps-qr}\begin{pmatrix}s & -q\\ -r & p\end{pmatrix}.$$ Aquí $p=1$, $q=a-3$, $r=-1$, $s=2-a$ y $\det(M)=-1$. Entonces: $$M^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}2-a & -(a-3)\\ -(-1) & 1\end{pmatrix} =-\begin{pmatrix}2-a & -(a-3)\\ 1 & 1\end{pmatrix}.$$ Multiplicamos por $-1$: $$M^{-1}=\begin{pmatrix}a-2 & a-3\\ -1 & -1\end{pmatrix}.$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{M^{-1}=\begin{pmatrix}a-2 & a-3\\ -1 & -1\end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** En $2\times 2$, la inversa se obtiene “intercambiando” la diagonal principal, cambiando el signo de la otra diagonal y dividiendo entre el determinante.

**2A b) [1,5 puntos] Para $a=-1$, calcula la matriz $X$ que satisface $MA=B-MX$.** Para $a=-1$: $$M=\begin{pmatrix}1 & -4\\ -1 & 3\end{pmatrix},\qquad M^{-1}=\begin{pmatrix}-3 & -4\\ -1 & -1\end{pmatrix}$$ (usando la fórmula del apartado a)). Partimos de: $$MA=B-MX.$$ Pasamos $-MX$ al primer miembro: $$MA+MX=B.$$ Factorizamos $M$ (distributiva): $$M(A+X)=B.$$ Como $M$ es invertible, multiplicamos a la izquierda por $M^{-1}$: $$A+X=M^{-1}B\quad\Rightarrow\quad X=M^{-1}B-A.$$ 💡 **Tip:** Si aparece $MA+MX$, es muy útil factorizar como $M(A+X)$.

Con $$M^{-1}=\begin{pmatrix}-3 & -4\\ -1 & -1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\ -1 & 2 & 1\end{pmatrix},$$ calculamos el producto $M^{-1}B$ (matriz $2\times 3$). Primera fila de $M^{-1}B$ (fila $[-3,-4]$): - Columna 1: $-3\cdot 1+(-4)\cdot(-1)=-3+4=1$. - Columna 2: $-3\cdot 0+(-4)\cdot 2=0-8=-8$. - Columna 3: $-3\cdot 3+(-4)\cdot 1=-9-4=-13$. Segunda fila de $M^{-1}B$ (fila $[-1,-1]$): - Columna 1: $-1\cdot 1+(-1)\cdot(-1)=-1+1=0$. - Columna 2: $-1\cdot 0+(-1)\cdot 2=0-2=-2$. - Columna 3: $-1\cdot 3+(-1)\cdot 1=-3-1=-4$. Por tanto, $$M^{-1}B=\begin{pmatrix}1 & -8 & -13\\ 0 & -2 & -4\end{pmatrix}.$$

Dadas $$A=\begin{pmatrix}0 & -1 & 3\\ 1 & 2 & -2\end{pmatrix},\qquad M^{-1}B=\begin{pmatrix}1 & -8 & -13\\ 0 & -2 & -4\end{pmatrix},$$ restamos elemento a elemento: Primera fila: - $1-0=1$, - $-8-(-1)=-7$, - $-13-3=-16$. Segunda fila: - $0-1=-1$, - $-2-2=-4$, - $-4-(-2)=-2$. Así, $$X=\begin{pmatrix}1 & -7 & -16\\ -1 & -4 & -2\end{pmatrix}.$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{X=\begin{pmatrix}1 & -7 & -16\\ -1 & -4 & -2\end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** En productos y restas de matrices, revisa siempre las dimensiones: aquí $X$ debe ser $2\times 3$ (igual que $A$ y $B$).

**2B a) [1,25 puntos] Estudiar el rango de $A$ según los valores del parámetro $k$.** Para decidir el rango, empezamos por el determinante: si $\det(A)\neq 0$, entonces **$\operatorname{rg}(A)=3$**. Sea $$A=\begin{pmatrix}5 & -4 & 2\\ 2 & k & 1\\ -4 & 4 & k\end{pmatrix}.$$ Calculamos $\det(A)$ por **Sarrus**: Diagonales hacia abajo: $$5\cdot k\cdot k+(-4)\cdot 1\cdot(-4)+2\cdot 2\cdot 4=5k^2+16+16=5k^2+32.$$ Diagonales hacia arriba: $$2\cdot k\cdot(-4)+5\cdot 1\cdot 4+(-4)\cdot 2\cdot k=-8k+20-8k=20-16k.$$ Entonces: $$\det(A)=(5k^2+32)-(20-16k)=5k^2+16k+12.$$ Factorizamos: $$5k^2+16k+12=(5k+6)(k+2).$$ Por tanto: - Si $k\neq -\dfrac{6}{5}$ y $k\neq -2$, entonces $\det(A)\neq 0$ y **$\operatorname{rg}(A)=3$**. 💡 **Tip:** En matrices $3\times 3$, el determinante distingue muy rápido el caso de rango máximo.

Si $k=-2$: $$A=\begin{pmatrix}5 & -4 & 2\\ 2 & -2 & 1\\ -4 & 4 & -2\end{pmatrix}.$$ Como $k=-2$ anula el determinante, $\det(A)=0$ y por tanto $\operatorname{rg}(A)\lt 3$. Comprobamos dependencia entre filas: $$(-2)\cdot(2,-2,1)=(-4,4,-2),$$ que coincide con la tercera fila. Luego **la fila 3 es múltiplo de la fila 2** y las filas no son todas independientes. Pero la fila 1 no es múltiplo de la fila 2 (por ejemplo, $5/2\neq (-4)/(-2)$), así que hay al menos dos filas independientes. Conclusión: $$\boxed{\operatorname{rg}(A)=2\ \text{si}\ k=-2}$$ 💡 **Tip:** Si $\det=0$, busca una relación simple entre filas o columnas (múltiplos, sumas) para decidir si el rango baja a 2.

Si $k=-\dfrac{6}{5}$, también $\det(A)=0$, luego $\operatorname{rg}(A)\lt 3$. Para ver que el rango es 2 (y no 1), basta encontrar un menor $2\times 2$ no nulo. Por ejemplo, el de las dos primeras filas y dos primeras columnas: $$\begin{vmatrix}5 & -4\\ 2 & -\dfrac{6}{5}\end{vmatrix}=5\left(-\frac{6}{5}\right)-(-4)\cdot 2=-6+8=2\neq 0.$$ Así, existe un menor de orden 2 distinto de 0, por lo que: $$\boxed{\operatorname{rg}(A)=2\ \text{si}\ k=-\dfrac{6}{5}}$$ ✅ **Resumen del apartado a):** $$\boxed{\operatorname{rg}(A)=\begin{cases} 3, & k\neq -2\ \text{y}\ k\neq -\dfrac{6}{5},\\ 2, & k=-2\ \text{o}\ k=-\dfrac{6}{5}. \end{cases}}$$ 💡 **Tip:** Para demostrar rango 2 cuando $\det=0$, prueba un menor $2\times 2$; si sale distinto de 0, ya está.

**2B b) [1,25 puntos] Para $k=-1$, comprobar que $A^2=2A-I$ y verificar que $A^4=4A-3I$.** Para $k=-1$: $$A=\begin{pmatrix}5 & -4 & 2\\ 2 & -1 & 1\\ -4 & 4 & -1\end{pmatrix},\qquad I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Calculamos $A^2=A\cdot A$ (producto fila por columna). - Entrada $(1,1)$: $(5,-4,2)\cdot(5,2,-4)=25-8-8=9$. - Entrada $(1,2)$: $(5,-4,2)\cdot(-4,-1,4)=-20+4+8=-8$. - Entrada $(1,3)$: $(5,-4,2)\cdot(2,1,-1)=10-4-2=4$. - Entrada $(2,1)$: $(2,-1,1)\cdot(5,2,-4)=10-2-4=4$. - Entrada $(2,2)$: $(2,-1,1)\cdot(-4,-1,4)=-8+1+4=-3$. - Entrada $(2,3)$: $(2,-1,1)\cdot(2,1,-1)=4-1-1=2$. - Entrada $(3,1)$: $(-4,4,-1)\cdot(5,2,-4)=-20+8+4=-8$. - Entrada $(3,2)$: $(-4,4,-1)\cdot(-4,-1,4)=16-4-4=8$. - Entrada $(3,3)$: $(-4,4,-1)\cdot(2,1,-1)=-8+4+1=-3$. Por tanto, $$A^2=\begin{pmatrix}9 & -8 & 4\\ 4 & -3 & 2\\ -8 & 8 & -3\end{pmatrix}.$$ Ahora calculamos $2A-I$: $$2A=\begin{pmatrix}10 & -8 & 4\\ 4 & -2 & 2\\ -8 & 8 & -2\end{pmatrix}\Rightarrow 2A-I=\begin{pmatrix}9 & -8 & 4\\ 4 & -3 & 2\\ -8 & 8 & -3\end{pmatrix}.$$ Como $A^2$ y $2A-I$ coinciden, $$\boxed{A^2=2A-I}.$$ 💡 **Tip:** Para “comprobar” una igualdad de matrices, basta calcular ambos lados y ver que todas las entradas coinciden.

Partimos de la identidad ya demostrada: $$A^2=2A-I.$$ Elevamos al cuadrado ambos lados: $$A^4=(A^2)^2=(2A-I)^2.$$ Desarrollamos el cuadrado (recordando que $AI=IA=A$ e $I^2=I$): $$ (2A-I)^2=(2A)(2A)-(2A)I-I(2A)+I^2=4A^2-2A-2A+I=4A^2-4A+I.$$ Ahora sustituimos $A^2$ por $2A-I$: $$A^4=4(2A-I)-4A+I=8A-4I-4A+I=4A-3I.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A^4=4A-3I}$$ 💡 **Tip:** Si te dan una relación del tipo $A^2=\alpha A+\beta I$, úsala para reducir potencias altas sin multiplicar matrices muchas veces.