Análisis 2025 Canarias
Modelo farmacocinético a trozos: continuidad, derivada, máximo y límite
1. En un hospital de las Islas Canarias, un equipo de investigación está analizando cómo se metaboliza en sangre un nuevo medicamento llamado Metabolix, utilizado para tratar infecciones bacterianas. La concentración residual del fármaco en el plasma sanguíneo, denotada como $f(x)$ (medida en miligramos por litro, $\text{mg/L}$), depende del tiempo transcurrido $x$ (en horas) desde su administración. El estudio indica que el medicamento sigue dos fases diferenciadas:
• Fase de absorción: En las primeras dos horas, el fármaco se distribuye por el organismo.
• Fase de eliminación: A partir de la segunda hora, el fármaco empieza a eliminarse.
Este comportamiento se modeliza mediante la siguiente función matemática:
$$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^2-6x+11}{9} & \text{si } 0\le x<2,\\
\dfrac{9}{\sqrt{5x-1}} & \text{si } x\ge 2.
\end{cases}$$
El equipo de investigación necesita aclarar algunas dudas del modelo matemático:
a) [0,5 puntos] Confirmar si este modelo es realmente continuo. Justifica tu respuesta.
b) [0,75 puntos] La concentración residual varía con el tiempo, comprobar que la velocidad de crecimiento instantánea de la concentración residual a las 3 horas de administrar Metabolix es mayor que $-0.5\,(\text{mg/L})/\text{h}$.
c) [0,75 puntos] ¿Es cierto que la concentración residual del fármaco en la sangre siempre va disminuyendo con respecto al tiempo transcurrido? Averiguar en qué instante la concentración residual es máxima y calcular el valor de dicha concentración.
d) [0,5 puntos] Pasado un largo periodo de tiempo, ¿cuál será la concentración residual de este medicamento?
Paso 1
Entender la función a trozos y su dominio
Apartado a) [0,5 puntos] Confirmar si este modelo es realmente continuo. Justifica tu respuesta.
La función viene dada por:
$$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^2-6x+11}{9} & \text{si } 0\le x<2,\\
\dfrac{9}{\sqrt{5x-1}} & \text{si } x\ge 2.
\end{cases}$$
- En el primer tramo $0\le x<2$, es un polinomio dividido por $9$, así que es continua.
- En el segundo tramo $x\ge 2$, la expresión exige $5x-1>0\Rightarrow x>\frac{1}{5}$. Como aquí $x\ge 2$, se cumple automáticamente.
Por tanto, el dominio del modelo es:
$$\boxed{[0,+\infty)}.$$
El posible problema de continuidad está en el punto de cambio de fase: $x=2$.
Paso 2
Comprobar continuidad en x=2: límite por la izquierda
Apartado a) [0,5 puntos] Confirmar si este modelo es realmente continuo. Justifica tu respuesta.
Calculamos el límite por la izquierda usando el primer tramo:
$$\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^-}\frac{x^2-6x+11}{9}=\frac{2^2-6\cdot 2+11}{9}=\frac{4-12+11}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.$$
Paso 3
Comprobar continuidad en x=2: valor y límite por la derecha
Apartado a) [0,5 puntos] Confirmar si este modelo es realmente continuo. Justifica tu respuesta.
Para $x\ge 2$ se usa el segundo tramo, así que:
$$f(2)=\frac{9}{\sqrt{5\cdot 2-1}}=\frac{9}{\sqrt{9}}=\frac{9}{3}=3.$$
Además, como el segundo tramo es continuo para $x\ge 2$:
$$\lim_{x\to 2^+} f(x)=f(2)=3.$$
Paso 4
Conclusión del apartado a: el modelo no es continuo
Apartado a) [0,5 puntos] Confirmar si este modelo es realmente continuo. Justifica tu respuesta.
Comparamos:
$$\lim_{x\to 2^-} f(x)=\frac{1}{3},\qquad \lim_{x\to 2^+} f(x)=3,\qquad f(2)=3.$$
Como
$$\lim_{x\to 2^-} f(x)\ne \lim_{x\to 2^+} f(x),$$
la función **no es continua en $x=2$**.
Conclusión: el modelo **no es realmente continuo** (tiene un salto en $x=2$).
Paso 5
Derivar el segundo tramo para estudiar la velocidad en x=3
Apartado b) [0,75 puntos] La concentración residual varía con el tiempo, comprobar que la velocidad de crecimiento instantánea de la concentración residual a las 3 horas de administrar Metabolix es mayor que $-0.5\,(\text{mg/L})/\text{h}$.
Como $3\ge 2$, usamos el segundo tramo:
$$f(x)=\frac{9}{\sqrt{5x-1}}=9(5x-1)^{-1/2}.$$
Derivamos (regla de la cadena):
$$f'(x)=9\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)(5x-1)^{-3/2}\cdot 5=-\frac{45}{2}(5x-1)^{-3/2}.$$
Paso 6
Calcular f'(3) y comparar con -0.5
Apartado b) [0,75 puntos] La concentración residual varía con el tiempo, comprobar que la velocidad de crecimiento instantánea de la concentración residual a las 3 horas de administrar Metabolix es mayor que $-0.5\,(\text{mg/L})/\text{h}$.
Evaluamos en $x=3$:
$$f'(3)=-\frac{45}{2}(5\cdot 3-1)^{-3/2}=-\frac{45}{2}\,14^{-3/2}=-\frac{45}{2}\cdot\frac{1}{14\sqrt{14}}=-\frac{45}{28\sqrt{14}}.$$
Comprobamos que $f'(3)>-0.5$:
$$-\frac{45}{28\sqrt{14}}>-\frac{1}{2}\iff \frac{45}{28\sqrt{14}}<\frac{1}{2}\iff 45<14\sqrt{14}.$$
Al cuadrar (ambos lados positivos):
$$45^2< (14\sqrt{14})^2\iff 2025<196\cdot 14=2744,$$
que es cierto.
Por tanto, **$\boxed{f'(3)>-0.5\,(\text{mg/L})/\text{h}}$**.
(Valor aproximado: $f'(3)\approx -0.429\,(\text{mg/L})/\text{h}$.)
Paso 7
Estudiar si siempre disminuye: derivadas en cada tramo
Apartado c) [0,75 puntos] ¿Es cierto que la concentración residual del fármaco en la sangre siempre va disminuyendo con respecto al tiempo transcurrido? Averiguar en qué instante la concentración residual es máxima y calcular el valor de dicha concentración.
Para saber si “siempre disminuye”, miramos la monotonía en cada tramo y también qué pasa en $x=2$.
Primer tramo ($0\le x<2$):
$$f(x)=\frac{x^2-6x+11}{9}\Rightarrow f'(x)=\frac{2x-6}{9}=\frac{2}{9}(x-3).$$
En $[0,2)$ se cumple $x-3<0$, luego
$$f'(x)<0\quad\Rightarrow\quad f \text{ es decreciente en } [0,2).$$
Segundo tramo ($x\ge 2$):
$$f'(x)=-\frac{45}{2}(5x-1)^{-3/2}<0,$$
por lo que
$$f \text{ es decreciente en } [2,+\infty).$$
Paso 8
Conclusión sobre “siempre disminuye” y máximo absoluto
Apartado c) [0,75 puntos] ¿Es cierto que la concentración residual del fármaco en la sangre siempre va disminuyendo con respecto al tiempo transcurrido? Averiguar en qué instante la concentración residual es máxima y calcular el valor de dicha concentración.
Aunque en cada tramo es decreciente, en $x=2$ hay un salto:
$$\lim_{x\to 2^-}f(x)=\frac{1}{3}\quad \text{pero}\quad f(2)=3.$$
Es decir, al llegar a las 2 horas la concentración **sube bruscamente** de cerca de $\frac{1}{3}$ hasta $3$.
Por tanto, **no es cierto** que siempre vaya disminuyendo en todo el tiempo (porque en $x=2$ aumenta).
Para el máximo:
- En el primer tramo, al ser decreciente, el máximo está en $x=0$:
$$f(0)=\frac{11}{9}.$$
- En el segundo tramo, al ser decreciente, el máximo está en el extremo izquierdo $x=2$:
$$f(2)=3.$$
Como $3>\frac{11}{9}$, el máximo absoluto del modelo es:
$$\boxed{\text{máximo en } x=2\ \text{h, con } f(2)=3\ \text{mg/L}.}$$
Paso 9
Límite cuando pasa mucho tiempo
Apartado d) [0,5 puntos] Pasado un largo periodo de tiempo, ¿cuál será la concentración residual de este medicamento?
Cuando $x\to +\infty$ se aplica el segundo tramo:
$$f(x)=\frac{9}{\sqrt{5x-1}}.$$
Como $\sqrt{5x-1}\to +\infty$, se tiene:
$$\lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{9}{\sqrt{5x-1}}=0.$$
Conclusión: tras mucho tiempo, la concentración residual tiende a **$\boxed{0\ \text{mg/L}}$**.
Paso 10
Visualización del salto en x=2, el máximo y la tendencia a 0
Apartados a), b), c) y d)
En el interactivo se ve el tramo cuadrático en $0\le x<2$, el salto en $x=2$ (punto lleno en $(2,3)$ y punto hueco cercano a $(2,1/3)$), y cómo en la fase de eliminación la función baja hacia 0.