Optimización de plazas en residencias universitarias

**1.75 a) Comprobar si hay más de un 90% de posibilidades de recibir entre 460 y 510 solicitudes de plaza en una residencia de estudiantes de nuevo ingreso que provienen de islas diferentes a Tenerife y Gran Canaria.** Primero, definimos la variable aleatoria: $X = \text{número de estudiantes que solicitan plaza en una residencia.}$ Estamos ante una distribución Binomial, ya que cada estudiante es independiente y tiene dos opciones (solicitar o no plaza). Los parámetros son: - $n = 1800$ (número de estudiantes encuestados). - $p = 0.27$ (probabilidad de solicitar plaza). - $q = 1 - p = 0.73$ (probabilidad de no solicitar plaza). Por tanto, $X \sim B(1800, 0.27)$. Como $n$ es muy grande, comprobamos si podemos aproximar por una distribución Normal: 1. $n \cdot p = 1800 \cdot 0.27 = 486 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 1800 \cdot 0.73 = 1314 \gt 5$ Se cumplen las condiciones. Los parámetros de la Normal aproximada $X' \sim N(\mu, \sigma)$ son: - $\mu = n \cdot p = 486$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{1800 \cdot 0.27 \cdot 0.73} = \sqrt{354.78} \approx 18.8356$ 💡 **Tip:** Para aproximar una Binomial $B(n, p)$ por una Normal $N(\mu, \sigma)$, los parámetros son $\mu = np$ y $\sigma = \sqrt{npq}$. $$\boxed{X \sim B(1800, 0.27) \approx X' \sim N(486, 18.8356)}$$

Queremos calcular $P(460 \le X \le 510)$. Al pasar de una variable discreta a una continua, aplicamos la **corrección por continuidad de Yates**: $$P(459.5 \le X' \le 510.5)$$ Ahora tipificamos la variable usando $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P\left(\frac{459.5 - 486}{18.8356} \le Z \le \frac{510.5 - 486}{18.8356}\right)$$ $$P(-1.407 \le Z \le 1.301)$$ Redondeando a dos decimales para usar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$: $$P(-1.41 \le Z \le 1.30) = P(Z \le 1.30) - P(Z \le -1.41)$$ $$= P(Z \le 1.30) - (1 - P(Z \le 1.41))$$ Buscamos los valores en la tabla: - $P(Z \le 1.30) = 0.9032$ - $P(Z \le 1.41) = 0.9207$ $$0.9032 - (1 - 0.9207) = 0.9032 - 0.0793 = 0.8239$$ Comparando con el 90% enunciado: $0.8239 \lt 0.90$ 💡 **Tip:** La corrección por continuidad consiste en restar $0.5$ al límite inferior y sumar $0.5$ al límite superior para incluir los valores extremos en la aproximación continua. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, la probabilidad es del 82.39%, que es menor al 90%}}$$

**0.75 b) A partir de 525 solicitudes de alojamiento de estos estudiantes, las universidades deberían acometer la construcción de nuevas residencias universitarias. ¿Qué probabilidad hay de que deban adoptar esta medida?** Deben adoptar la medida si $X \ge 525$. Aplicamos de nuevo la corrección por continuidad y tipificamos: $$P(X \ge 525) \implies P(X' \ge 524.5)$$ Tipificamos: $$P\left(Z \ge \frac{524.5 - 486}{18.8356}\right) = P(Z \ge 2.0439...)$$ Redondeando a dos decimales: $$P(Z \ge 2.04) = 1 - P(Z \le 2.04)$$ Buscamos en la tabla el valor para $2.04$: $P(Z \le 2.04) = 0.9793$ Calculamos la probabilidad final: $$1 - 0.9793 = 0.0207$$ Esto equivale a un **2.07%** de probabilidad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 525) = 0.0207}$$